Производная по направлению: определение, физический смысл, вычислительная формула

Определение. Пусть в нек-ой окрестности определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U (x ₀) можно представить в виде f (x ₀ + h) = f (x ₀) + Ah + o (h), если существует.

Определение производной функции через предел. Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x ₀ называется предел, если он существует,

Дифференцируемость. Производная функции f в точке x ₀, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x ₀тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x ₀ функции f в окрестности U (x ₀) справедливо представление при

Замечания. Назовём Δ x = x − x ₀ приращением аргумента функции, а Δ y = f (x ₀ + Δ x) − f (x ₀) приращением значения функции в точке x ₀. Тогда

Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена производная функция

Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.

Дата добавления: 2015-05-10