Многоканальная СМО с ожиданием

Вопросы для самоконтроля

Выводы по теме

Пример

Многоканальные СМО с ожиданием

Пример

Какое оптимальное число линий обслуживания должна иметь СМО, если известно, что

λ = 2, μ = 1, c₁ = 5, c₂ = 1.

Решение

φ = λ/μ = 2,

C(s) = 5*2*2^s/s!(1+2+4/2!+…+2^s/s!)+1*(s-2(1-P_s)),

P₁ = φ/(1+φ) =2/3,

C(1) = 5*2*2/1(1+2)+1(1-2(1-2/3)) = 7.

Аналогично имеем:

C(2) = 4,8;

C(3) = 3,5;

C(4) = 3,1;

C(5) = 3,44.

Таким образом, минимум функции стоимости достигается при s = 4, т. е. оптимальное число линий обслуживания – 4.

Предположения относительно систем, введенные ранее, остаются в силе. Изучение системы ведется по обычной схеме:

1. Выясняются возможные состояния системы (здесь их бесконечное множество).

2. Находятся переменные вероятности.

3. Составляется система уравнений для нахождения Р_k – вероятностей пребывания системы в каждом из своих состояний.

4. Изучаем стационарный режим работы СМО.

5. Находятся все вероятности, через Р₀. Результат таков:

6. Ведётся подсчет средних характеристик: j – среднее количество занятых линий; q – среднее число свободных линий; Р(w > 0) – вероятность ожидания; v – средняя длина очереди.

j = φ;

q = s-φ;

P(w > 0) = φ^s*P₀/s!(1-φ/s);

v = φ^s+1P₀/(s-1)!(s-φ)².

Определить число взлетно-посадочных полос для самолётов с учетом требования, что вероятность ожидания Р(w > 0) должна быть меньше, чем 0,05. Интенсивность потока равна 27 требований в сутки и интенсивность линий обслуживания – 30 самолётов в сутки.

Решение

φ = λ/μ = 0,9.

Используя приведенные выше формулы, имеем:

s = 1: P₀ = (1+0,9+0,81/(1(1-0,9)))^-1 = 0,1, P(w > 0) = 0,9*0,1/(1-0,9) = 0,9;

s = 2: P₀ = 0,380, P(w > 0) = 0,276;

s = 3: P₀ = 0,403, P(w > 0) = 0,07;

s = 4: P₀ = 0,456, P(w > 0) = 0,015.

Таким образом, надо устраивать 4 взлетно-посадочные полосы.

1. При изучении СМО используем следующие предположения:

a. Входной поток является пуассоновским с параметром λ.

b. Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ:

c. Время обслуживания требования не зависит от количества требований, поступивших в систему.

Основные формулы:

P₀ = μ/λ+μ, P₁ = 1-P₀ = λ/λ+μ,

φ = P₁/P₀ = λ/μ,

где λ – среднее число требований, прибывающих в систему за единицу времени, μ – среднее число обслуженных требований.

2. Одноканальные СМО с ожиданием при условии, что нет ограничений на длину очереди, имеют бесчисленное множество состояний:

Е₀, Е₁, Е₂, Е₃,...

Е₀ – в системе 0 требований (система свободна);

Е₁ – в системе 1 требование (система занята);

Е₂ – в системе 1 требование, и одно требование ожидает в очереди;

Е₃ – в системе 1 требование, и два требования ожидают в очереди и т. д.

Основные формулы:

n = φ/(1-φ);

v = φ²/(1-φ);

w = [φ/(1-φ)]*[1/μ],

n – количество требований, находящихся в системе;

v – длина очереди;

w – время ожидания в очереди.

3. Сделаем следующие предположения относительно многоканальных СМО с отказами:

· входной поток пуассоновский;

· время обслуживания распределено по экспоненциальному закону;

· время обслуживания не зависит от входного потока;

· все линии обслуживания работают независимо.

Будем считать, что система содержит некоторое количество линий обслуживания s. Она может находиться в состояниях Е₀, Е₁, Е₂, Е₃,... Е_S.

Основные формулы:

где С(s) – функция стоимости СМО.

4. Предположения относительно систем, введенные ранее, остаются в силе. Изучение многоканальных СМО с ожиданием ведется по обычной схеме:

. Выясняются возможные состояния системы (здесь их бесконечное множество).

a. Находятся переменные вероятности.

b. Составляется система уравнений для нахождения Р_k – вероятностей пребывания системы в каждом из своих состояний.

c. Изучаем стационарный режим работы СМО.

d. Находятся все вероятности, через Р₀. Результат таков:

e. Ведётся подсчет средних характеристик: j – среднее количество занятых линий; q – среднее число свободных линий; Р(w > 0) – вероятность ожидания; v – средняя длина очереди.

j = φ;

q = s-φ;

P(w > 0) = φ^s*P₀/s!(1-φ/s);

v = φ^s+1P₀/(s-1)!(s-φ)².

1. Какие виды СМО Вы знаете?

2. При каких предположениях изучаются одноканальные СМО с отказами?

3. Почему стационарный режим в одноканальных СМО с ожиданием существует только при условии φ > 0?

4. Какие средние характеристики можно рассчитать в одноканальных СМО с ожиданием?

5. Дана формула C(s) = c₁λP_s+c₂ρ. Объясните, что означают буквенные обозначения в этой формуле.

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки имеют интенсивности λ и μ соответственно, параллельно обслуживаться могут не более С клиентов, то есть система имеет С каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна .
Вероятности того, что в системе находятся п заявок (С обслуживаются, остальные ожидают в очереди) равна:

где
.
Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:
Остальные вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяется по следующим формулам:
среднее число клиентов в очереди на обслуживание
;
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на обслуживание и в очереди)
L_S = L_q +ρ;
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди
;
средняя продолжительность пребывания клиента в системе
.
Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.
Пример. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность λ=2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно t _об =0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:
- вероятность состояний системы;
- среднее число заявок в очереди на обслуживание;
- среднее число находящихся в системе заявок;
- среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
- среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
Решение
Определим параметр потока обслуживаний

Приведенная интенсивность потока заявок
ρ=λ/μ=2,5/2,0=1,25,
при этом λ/μ ∙ с =2,5/2∙3=0,41<1.
Поскольку λ/μ∙ с <1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.
Вычислим вероятности состояний системы:



Вероятность отсутствия очереди у мастерской
Р_отк≈ Р ₀+ Р ₁+ Р ₂+ Р ₃≈0,279+0,394+0,218+0,091=0,937.
Среднее число заявок в очереди на обслуживание

Среднее число находящихся в системе заявок
L_s = L_q + =0,111+1,25=1,361.
Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание
суток.
Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)
суток.