Уравнения Лагранжа

Закон сохранения энергии электромагнитного поля

Объёмная плотность энергии электромагнитного поля:

Объёмная плотность мощности, развиваемая полем при перемещении заряда:

Закон сохранения энергии электромагнитного поля в дифференциальной форме:

Физический смысл этого соотношения состоит в следующем: если взять любой объём пространства, то энергия поля в этом объёме может изменяться только в результате втекания или вытекания энергии через ограничивающие поверхности, или при совершении полем работы по перемещению электрических зарядов.

Уравнения Ньютона для механической системы, состоящей из материальных точек, можно записать в виде следующих уравнений

, (1)

где – масса 1-й материальной точки; – радиус-вектор 1-й материальной точки; – сила, действующая на 1-ю материальную точку. И так далее по всем материальным точкам системы.

Кинетическая энергия системы определяется следующим выражением

. (2)

Будем считать, что положение всех точек системы описыватся вектором обобщенных координат . Декартовы координаты материальных точек могут быть выражены через обобщенные координаты

. (3)

Продифференцировав выражение (2) для кинетической энергии по производной обобщенной координаты , получим

. (4)

Продифференцировав (3) по времени, получим

. (5)

Продифференцировав (5) по производной обобщенной координаты , получим

. (6)

Подставив (6) в (4), получим

. (7)

Продифференцировав (7) по времени, получим

. (8)

Преобразуем

. (9)

Используя (9), получим

. (10)

Используя (1) и (10), перепишем выражение (8)

. (11)

Обозначим - обобщенная сила, действующая в механической системе по -й обобщенной координате. Тогда уравнения (11) можно записать в следующем виде

. (12)

Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа.

Дата добавления: 2015-05-10