Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Побудова алгоритму




Метод найменших квадратів полягає в наступному Нехай нам задано значення якоїсь функції у = f (x) у вузлах x 0, x 1,..., xn. Будемо шукати поліном Р (x) степеня меншого за n, який би в точках хi набував значень уi не точно, а з деякою похибкою. Нехай

Р (x)= a 0+ a 1 x + a 2 x 2+...+ amxm, (m < n) (1)

такий, щоб справджувались рівності:

P (x i)– y i 0, (i =0,1,..., n). (2)

При m = n маємо інтерполювання, що дає змогу використати формулу Лагранжа.

Знаходження коефіцієнтів полінома зводиться до розв’язання системи (2), розв’язати яку без додаткової умови неможливо, бо m < n. Принцип найменших квадратів полягає в тому, що найкращі значення коефіцієнтів поліному (1) ті, при яких сума квадратів відхилень поліному від значень функцій в даних точках найменша. Інакше кажучи, коефіцієнти знаходимо з умови перетворення в мінімум виразу:

(3)

Підставляючи (1) у (3), матимемо поліном другого степеня відносно ak, (k=0,1,...,m):

(4)

З формули (4) бачимо, що поліном s не може бути менший від нуля, тому поліном існує. Як відомо з математичного аналізу, для знаходження тих значень коефіцієнтів ak, при яких s перетворюється в мінімум, треба знайти частинні похідні по всіх коефіцієнтах ak і прирівняти їх до нуля. Дістанемо систему m +1 рівнянь:

(5)

Систему (5) зручно записати в такій формі

, k =0,1,2,..., m.

Звідси одержуємо ітераційні методи побудови вільних членів та коефіцієнтів системи рівнянь:

  1. Для поліному степеня m рівняння до першого формується так:

, , , , …,

  1. Кожне рівняння містить невідоме: аk, аk –1, аk –2,..., а 1, а 0.
  2. Послідовність коефіцієнтів при невідомих в першому рівнянні має вид:

, , ,…,

  1. Щоб одержати послідовність коефіцієнтів при невідомих в j +1-му рівнянні з послідовності коефіцієнтів при невідомих в j -му рівнянні потрібно вилучити перший коефіцієнт, перемістити всі коефіцієнти на одиницю вліво і приєднати справа коефіцієнт рівний сумі хі з степенями на одиницю меншими ніж їх містить останній коефіцієнт, тобто, якщо ми мали послідовність коефіцієнтів: , , , …, то одержимо послідовність коефіцієнтів: , , …, , .
  2. В останньому рівнянні коефіцієнт біля а 0 дорівнює n +1.

Визначник системи (5) не дорівнює нулю, тому вона має розв’язок, що становить сукупність значень коефіцієнтів ak, які задовольняють умову (3) і перетворюють s в мінімум.

Слід зауважити, що значення s залежить, в значній мірі, від точності обчислення значень функції у (хі). Якщо у (хі)= уі ± D і, то в s присутній доданок (уі ±D ір (хі))2=(уір (хі))2±2D і (уір (хі))+D і 2. Отже, похибка D і при обчисленні значення функції у (хі) дає додатковий доданок 2½D і (уір (хі))½+D і 2 при обчисленні s. Тому, досить часто, якщо в якійсь точці відхилення ½ уір (хі)½ значно перевищує відхилення в інших точках, то значенням функції в цій точці ігнорують. Його взагалі відкидають, як помилкове, або обчислюють заново.

«Чисельне інтегрування»




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-10; Просмотров: 565; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.