Упорядочения и безразличие

Отношение нестрогого упорядочивания

Отношение нестрогого упорядочивания индуцируется отношением R и I.

R=Р I

Характеристика:

Это отношение обладает полнотой и рефлективностью.

Теорема о связи строгого упорядочивания и нестрогого упорядочивания.

Отношение дополнительное к обратному называется двойственным.

^-1 = ^d

R^d = P или ^-1 = P

Р^d = R или ^-1 = R

U U = I P P^-1

Слабым порядком называется асимметричное, негатранзитивное бинарное отношение.

Качественный порядок – это асимметричное, транзитивное бинарное отношение или антирефлективное транзитивное отношение.

Выделим классы бинарных отношений, обладающих свойствами, естест­венными для процессов принятия решений.

Чтобы использовать бинарные отношения для сравнения вариантов из некоторого множества, целесообразно ввести понятия упорядочения (строгого и нестрогого) и безразличия.

Минимальное требование к строгому упорядочению (строгому пре­восходству) — это асимметричность соответствующего отношения Р. Это условие и служит определением строгого упорядочения. Итак, строгое упорядочение Р — это асимметричное бинарное отношение. Как мы видели в § 5 гл. I, из асимметричности бинарного отношения следует его анти­рефлексивность. Следовательно, строгое упорядочение Р — это асимметрич­ное, антирефлексивное бинарное отношение.

Под отношением безразличия будем понимать отношение , исключаю­щее строгое превосходство одного элемента над другим. Оно может быть выражено через строгое упорядочение Р ввиде

;

иногда в место используется обозначение х~у. Из приведенного соотношения и определения строгого упорядочения следует, что отно­шение безразличия симметрично и рефлексивно. Эти два свойства мо­гут служить определением отношения безразличия. Таким образом, отноше­ние безразличия (в другой терминологии отношение толерантности) — это симметричное и рефлексивное бинарное отношение.

Отношение безразличия между вариантами может возникнуть в одном из трех случаев:

а) лицо, принимающее решение (ЛПР), считает, что нет разницы
(в смысле отношения Р) между вариантами х и у;

б) ЛПР не уверено в строгом превосходстве одного из вариантов над
другим (в строгом упорядочении вариантов между собой);

в) ЛПР считает варианты x и у несравнимыми между собой.

Отношения строгого упорядочения Р и безразличия индуцируют

отношение R нестрогого упорядочения .

Отсюда следует, что отношение R полно (а потому и рефлексивно). Полнота может служить определением нестрогого упорядочения. 16

Утверждение 1. Строгое упорядочение и нестрогое упорядочение обра­зуют двойственную пару отношений

Утверждение 2. Имеет место соотношение

.

Из определения и R и утверждения 1 следует, что отношение безраз­личия является симметричной частью нестрогого упорядочения R, а стро­гое упорядочение Р — асимметричной частью R, т.е.

§2. Слабый порядок

2.1. Введенные отношения — строгого и нестрогого упорядочения и без- различия - определяют весьма грубые подходы к сравнению вариантов, не обладающие достаточной определенностью и избирательностью. Для того, чтобы использовать бинарные отношения как инструмент рационального выбора из множества объектов произвольной природы, необходимо наделить отношения дополнительными более жесткими свойствами. Для сравнения и выбора вариантов естественно использовать отношения, обладающие такими свойствами, как транзитивность и негатранзитивность. Сузим класс строгих упорядочений, добавляя к свойству асимметричности соот­ветствующего бинарного отношения негатранзитивность, либо транзитив­ность. Получим новые классы отношений, более приемлемые в задачах выбора решений.

Будем называть слабым порядком асимметричное негатранзитивное бинарное отношение Р. Другими словами, слабый порядок Р — это нега-транзитивное строгое упорядочение. Примером слабого порядка является отношение "больше" (>) на любом подмножестве G вещественной прямой.

По аналогии с рассуждениями предыдущего параграфа можно по сла­бому порядку Р индуцировать два бинарных отношения I и R:

. (1)

Наряду с xIу будем использовать запись . Отличие от введенных ранее обозначений ~ связано с тем, что для слабых порядков это отношение обладает специальными свойствами.

Как будет показано ниже, если Р — слабый порядок, то бинарное отноше­ние I, определяемое приведенным соотношением, рефлексивно, симметрич­но и транзитивно. Бинарное отношение, обладающее этими свойствами, называется эквивалентностью. Можно сказать, что отношение эквивалент­ности — это транзитивное отношение безразличия.

Слабый порядок Р и отношение эквивалентности I порождают нестрогий слабый порядок R как объединение слабого порядка и эквивалентности

R = Р U I, те. xRy <=> (хРу) V (xly). Дальше будет показано, что таким образом порождаемое отношение R транзитивно и полно. Эти свойства могут служить определением нестрoгого слабого порядка.

Примером нестрогого слабого порядка является отношение "больше или равно" (≥) на любом подмножестве G вещественной прямой. Из определения отношений слабого порядка и нестрогого слабого порядка вытекает

Утверждение 3. Слабый порядок Р и нестрогий слабый порядок R обра­зуют двойственную пару отношений

Дата добавления: 2015-05-10