КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Вказівки та зразки розв’язування задач. 1 страница
1. Обчислити визначник: . а) за допомогою елементарних перетворень: б) розклавши за елементами рядка (або стовпця): Розв’язування. а) за допомогою елементарних перетворень:
Другий рядок залишаємо без змін. Додамо до елементів першого рядка відповідні елементи другого. Додамо до елементів третього рядка відповідні елементи другого, помножені на (-2), додамо до елементів четвертого рядка відповідні елементи другого, помножені на (-5). Одержаний визначник, скориставшись теоремою розкладу, розкладемо визначник за елементами першого стовпця. б) розклавши за елементами першого рядка, одержимо: 2. Розв’язати систему рівнянь: а) методом Гаусса, б) за правилом Крамера, в) матричним методом. Розв’язування.
Виключимо невідому x 1 з другого і третього рівнянь. Для цього додамо перше і друге рівняння, перше рівняння помножимо на (-2) і додамо до третього, одержимо: Виключимо змінну x 2 з третього рівняння. Для цього додамо друге і третє рівняння, отримуємо: З одержаної системи, послідовно, визначаємо х3, х2, х1. Отже множина чисел є розв’язком вихідної системи лінійних рівнянь. б) За правилом Крамера. Знаходимо визначник системи (за правилом Саррюса): Оскільки визначник системи відмінний від нуля, то вона завжди сумісна і має єдиний розв’язок, який знаходять за формулами Крамера: де одержуємо з визначника заміною і - го стовпця стовпцем вільних членів. Знаходимо:
Отже, ; ; ; - єдиний розв’язок системи (ЄРС). в) Матричним методом. Введемо позначення: .
У матричній формі систему лінійних рівнянь запишемо так . Звідси, одержимо розв’язок: . Знайдемо обернену матрицю . 1) обчислимо визначник матриці ; 2) знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці : ; ; ; ; ; ; ; ; . Запишемо матрицю із цих алгебраїчних доповнень: . 3) Транспонуючи її, одержимо приєднану матрицю: . 4) Обернена матриця має вигляд: . 5) Знаходимо розв’язок системи:
Отже, x1=1, x2=2, x3=1 – розв’язок заданої системи лінійних рівнянь. 3. Для виготовлення чотирьох видів продукції Р1, Р2, Р3, Р4 використовують три види сировини S1, S2, і S3. Запаси сировини та норми витрат наведені в таблиці:
Визначити кількість продукції Р1, Р2, Р3, Р4, яку можна виготовити, якщо сировину буде повністю вичерпано. Вказати базовий розв’язок. Розв’язування: Якщо вважати, що х1, х2, х3, х4 – це кількість одиниць продукції Р1, Р2, Р3, Р4, то дану задачу можна записати в вигляді системи лінійних рівнянь: що представляє собою математичну модель даної економічної задачі. Розв’яжемо її методом Жордана-Гаусса, використовуючи таблиці: Табл. 1. В першому рядку за ключовий елемент вибираємо 1. Цей рядок називається ключовим рядком. Переписуємо його без змін першим рядком другої таблиці. До відповідних елементів другого і третього рядків додаємо елементи першого помножені на “-2”. Результати записуємо другим і третім рядком таблиці 2.
Табл. 2. В якості ключового елемента вибираємо “-5”. Результат ділення другого рядка на ключовий елемент, записуємо другим рядком третьої таблиці. Помноживши другий рядок таблиці 3 на “-3”, а потім на ”4”, додаючи отримані рядки відповідно до першого і третього рядків другої таблиці, отримуємо перший і третій рядки третьої таблиці, в яких відбувся процес виключення невідомої х2.
Табл. 3. В третьому рядку ключовий елемент (-7/5) є коефіцієнтом при невідомій х3. Тому ділимо третій рядок третьої таблиці на ключовий елемент (-7/5) і записуємо отриманий рядок третім рядком четвертої таблиці. Нам залишається виключити невідому х3 з перших двох рядків третьої таблиці. Для цього третій рядок множимо спочатку на (-4/5) і додаємо до першого рядка третьої таблиці, а потім, множимо на (-2/5) і додаємо до другого рядка третьої таблиці. Результати дій записуємо першим і другим рядком четвертої таблиці. Таким чином ми отримали результуючу четверту таблицю, в якій кожний рядок має лише дві із чотирьох невідомих. Ця таблиця є розширеною матрицею системи рівнянь: В останній системі рівнянь х1, х2, х3 називаються базисними змінними, оскільки матриця, складена з коефіцієнтів при них є одиничною. Невідома х4 називається вільною, тому що може приймати будь-які значення. Але в нашій задачі невідомі хі (і= 1, 2, 3, 4) виражають кількість реалізованої продукції, тому вони повинні бути невід’ємними, тобто хі ≥ 0. А значить Будь-якому значенню відповідає невід'ємний розв’язок, який задовольняє умові задачі. Отже, для х4 = 0, х1 = 2, х2 = 1, х3 = 1 - базовий розв’язок. 4. Три фірми виробили чотири види виробів А1, А2, А3, А4. Відповідно: 13 шт.; 12 шт.; 4 шт.; 11 шт.; ІІ –13; 7; 21; 15; ІІІ – 2; 10; 12; 8. Ціна 1 шт. продукції в місті В1 відповідно: 5 грн., 4, 3 грн., 2 грн., 1, 5 грн., в В2 – 1; 1, 4; 3, 2; 1, 3; в В3 – 2; 3, 6; 2, 5;. 1. Визначити дохід, який одержать фірми від продажу даної продукції в кожному з міст. (Використати добуток матриць). Розв’язування: Запишемо матрицю продукції , стрічки якої утворюються з чисел - кількості виробленої продукції кожною фірмою. Запишемо матрицю цін , стовпці якої утворені цінами на вироби в кожному з міст. , . Знайдемо добуток матриць Ап та Вц –
Матриця-добуток дає можливість аналізувати і порівнювати очікуваний дохід від продажу виробленої продукції. Наприклад: 141,5 –дохід першої фірми в місті В1, 103,7 – дохід другої фірми в місті В2, 118,7 – дохід другої фірми в місті В3. З матриці також видно, що перша фірма одержить дохід в першому місті 141,5 грн., в другому – 56,9 грн., в третьому – 90,2 грн., друга, відповідно – 939,6;103,7; 118,7; третя – 89; 64,8; 78.
5. Задані координати вершин А (2; 2), B (5; 8), C (7; 1) трикутника ABC. Знайти: а) рівняння висоти AD; б) довжину висоти AD; в) рівняння медіани CE; г) значення кута В; д) площу трикутника АВС. Зробити малюнок. Розв’язування. а) Запишемо рівняння в’язки прямих, які проходять через точку А за формулою у-уА = k (x-xА). У нашому випадку: y -2= k AD(x- 2). З умови перпендикулярності AD i BC одержуємо, що . Для знаходження кутового коефіцієнта kBC запишемо рівняння сторони ВС як прямої, яка проходить через дві точки: , тобто ; ; = ; 2(y-8)= -7(x-5), 2y-16= -7x+35, 7x+2y-51=0 - рівняння сторони ВС. Якщо змінну у виразити через х, то одержимо: 2y = -7x+51, у = - . Звідси, k BC = - , а отже, k AD= . Рівняння висоти має вигляд y-2= , або 7y - 14 = 2 (x - 2), 7y - 2x - 10 = 0. б) Довжину висоти AD знайдемо як відстань від точки А (2; 2) до прямої ВС (7x+2y-51=0) за формулою . У нашому випадку А=7; В=2; С= -51, і тоді . в) Медіана СЕ ділить сторону АВ трикутника АВС навпіл, тому ; . Отже, точка Е (3,5; 5) - середина відрізка АВ. Запишемо рівняння медіани СЕ, як рівняння прямої, яка проходить через дві точки С (7; 1) i E (3,5; 5). ; ; 3,5(y-1)= -4(x-3,5); 3,5y+4x-17,5=0 або 7y-8x-35 =0 (CE). г) значення кута В знаходимо за формулою , рахуючи кут від прямої з кутовим коефіцієнтом k1 до прямої з кутовим коефіцієнтом k 2 проти годинникової стрілки. Обчислюємо кутові коефіцієнти сторін: , . . Звідси . д) площу трикутника АВС знаходимо за формулою: . Довжину сторони ВС знаходимо як відстань між двома точками ; . (кв. од). 6. Скласти канонічне рівняння еліпса, який проходить через точки М (-5; -4) i N (). Знайти фокуси еліпса. Зробити малюнок. Розв’язування. Нехай шукане рівняння еліпса буде . Цьому рівнянню повинні задовольняти координати точок M i N. Оскільки точка М належить еліпсу, то виконується рівність . Аналогічне рівняння отримуємо з того, що точка N належить еліпсу . Розв’язавши систему рівнянь знайдемо величини
а і b. Отримуємо a2 = 50; b2 = 32. Значить, рівняння еліпса має вигляд . Звідси, . Тоді координати вершин еліпса: A1(; 0), A2(; 0), B1(0; ), B2(0; ). Знайдемо величину c= . Отже, фокуси мають координати: F1(; 0), F2(; 0).
7. Знайти границі функцій: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Розв’язування. а) Функція f в граничній точці x =1 не визначена, тому що при x =1 чисельник і знаменник дробу перетворюються в нуль, тобто маємо невизначеність виду . Розкладемо чисельник і знаменник на прості множники, знайшовши їх корені. Перетворимо дріб, розділивши чисельник і знаменник на вираз (x -1). Одержимо . б) У цьому випадку теж одержимо невизначеність виду . Перетворення функції f зводиться до знищення ірраціональності в чисельнику. Для цього помножимо чисельник і знаменник на спряжений вираз до чисельника, тобто на (), а потім скоротимо дріб на (x -3) в) У цьому випадку має місце невизначеність виду . Розділимо чисельник і знаменник на найвищий степінь x, тобто на x3: . г) Тут використано формулу: - першої “визначної” границі. д) у цьому прикладі маємо невизначеність виду . Зробимо деякі перетворення функції при знаходженні границі . При цьому використано формулу: - другої "визначної" границі. 8. Знайти похідні функції: а) ; б) ; в) . Розв’язування. а) . Використаємо правило диференціювання для суми двох диференці- йованих функцій, а пізніше знайдемо похідні складних функцій:
Дата добавления: 2015-05-26; Просмотров: 1460; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |