Вказівки та зразки розв’язування задач. 3 страница

Сталу записали у вигляді для зручності спрощень. Далі маємо ; ; . Одержали загальний інтеграл рівняння.

б) ; при . Дане дифрівняння однорідне, оскільки є функція від . Використаємо заміну . Тоді . Підставивши в дане рівняння, маємо ; . Розділивши змінні, одержимо . Проінтегрувавши, дістанемо ; ; або . Це загальний інтеграл даного рівняння.

Підставивши початкові умови, знайдемо : .

При такому С маємо розв’язок задачі Коші, що задовільняє даній умові: або .

в) . Розв’яжемо це рівняння методом Бернуллі. Це є лінійне неоднорідне рівняння першого порядку.

Робимо заміну , (1) ; ; (2);

Прирівнюємо до нуля вираз в дужках .

Розв’язуємо диференціальне рівняння: ; ; , ; ; (3)

Розв’язок підставимо в рівняння (2): .

Розв’язуємо одержане рівняння: ; , (4);

Підставивши (3)і (4)в (1), одержимо загальний розв’язок рівняння:

.

г) . Складаємо характеристичне рівняння

,

Корені дійсні різні.

Частинні незалежні розв’язки і .

Загальний розв’язок .

д) .

Характеристичне рівняння:

Рівняння має кратний корінь.

Незалежні частинні розв’язки - і

Загальний розв’язок даного рівняння . Для знаходження частинного розв’язку знайдемо похідну

.

Підставивши початкові умови, знайдемо :

Підставляємо знайдені значення в загальний розв’язок рівняння:

- це є шуканий розв’язок задачі Коші.

е) .

1. Шукаємо , який є загальним розв’язком однорідного рівняння

Характеристичне рівняння -

Корені комплексно спряжені:

Частинні незалежні дійсні розв’язки: і .

Загальний розв’язок - .

2. Шукаємо , який є частковим розв’язком неоднорідного рівняння у вигляді .

Разом з першою похідною

і другою похідною підставимо їх значення в задане неоднорідне рівняння

Оскільки то скоротивши, отримаємо

і згрупувавши коефіцієнти біля степенів х, отримаємо .

Прирівнявши коефіцієнти біля однакових степенів х, маємо систему:

Частковий розв’язок , тоді загальний розв’язок заданого неоднорідного рівняння такий:

є) .

1. Шукаємо , який є загальним розв’язком однорідного рівняння

Характеристичне рівняння -

Частинні незалежні розв’язки: і .

Загальний розв’язок - .

2. Шукаємо , який є частковим розв’язком неоднорідного рівняння у вигляді . Разом з першою похідною і другою похідною підставимо їх значення в задане неоднорідне рівняння

або

. Згрупувавши коефіцієнти біля sinx і cosx,отримаємо систему:

Отже, частковий розв’язок , тоді загальний розв’язок заданого неоднорідного рівняння такий:

_.

ж) .

1. Шукаємо , який є загальним розв’язком однорідного рівняння

Характеристичне рівняння - ,

Частинні незалежні дійсні розв’язки: і .

Загальний розв’язок - .

2. Шукаємо , який є частковим розв’язком неоднорідного рівняння у вигляді ,оскільки є простим коренем характеристичного рівняння. Разом з першою похідною і другою похідною підставимо їх значення в задане неоднорідне рівняння

або

. Згрупувавши коефіцієнти біля степенів х, отримаємо систему:

Отже, частковий розв’язок , тоді, загальний розв’язок заданого неоднорідного рівняння такий:

21. Дослідити на збіжність ряди:

а) за ознакою Даламбера ряд ;

б) за ознакою Коші ряди 1) ; 2) ;

в) за ознакою порівняння ряди 1) ; 2) ;

г) на умовну та абсолютну збіжність 1) ; 2) .

Розв’язування.

а) застосуємо ознаку Даламбера до ряду . В нас , .

. Оскільки ,то даний ряд збіжний.

б) застосуємо інтегральну ознаку Коші до рядів:

1) . Обчислимо інтеграл

{ заміна: }

.

Інтеграл розбіжний, значить даний ряд теж розбіжний.

2) .

Обчислимо інтеграл

{ заміна: }

Інтеграл збіжний, отже, і ряд теж збіжний.

в) для рядів і використаємо ознаку порівняння:

1) . Оскільки для всіх : , то , при .

Ряд є збіжний тому, що це є ряд геометричної прогресії зі знаменником . Тоді за ознакою порівняння збіжний і даний ряд.

2) . Оскільки для всіх : , то . Гармонійний ряд розбіжний (за інтегральною ознакою Коші), і отже, ряд - теж розбіжний. А даний ряд також розбіжний.

1) Ряд знакопереміжний. За ознакою Даламбера дослідимо ряд, складений з абсолютних величин. Визначаємо: =

Значить, даний ряд збіжний. Отже, заданий знакопереміжний ряд є абсолютно збіжним.

2) .

За інтегральною ознакою Коші дослідимо ряд, складений з абсолютних величин. Обчислимо інтеграл

Отже, даний ряд розбіжний.

Заданий знакопереміжний ряд дослідимо за ознакою Лецбніца:.

1) - члени ряду за абсолютною величиною утворюють спадну числову послідовність; 2) .

Значить, заданий знакопереміжний ряд є умовно збіжний..

22. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду і дослідити збіжність на кінцях інтервалу.

Розв’язування. В даному випадку

.

Знаходимо радіус збіжності ряду

В інтервалі ряд збігається абсолютно.

Дослідимо збіжність степеневого ряду в точці

Ряд дослідимо за ознакою Коші.

.

Значить, даний ряд розбіжний.

При одержимо знакопереміжний ряд

який дослідимо за ознакою Лейбніца:

1). 1> - спадна числова послідовність;

2). .

Отже, за ознакою Лейбніца даний знакозмінний ряд збігається.

Таким чином, степеневий ряд збігається в півінтервалі ; на лівому кінці збігається умовно, а на правому розбігається.

Дата добавления: 2015-05-26