Понятие евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского

Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта системы векторов в евклидовом пространстве.

Ортонормированная система векторов, ее свойства.

Нормированные пространства.

Примеры евклидовых пространств.

Тема 8. Евклидовы пространства

Рязань 2012

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

Направление 080100

«Экономика»

Очная форма обучения

1. Евклидовы пространства: определение (аксиомы). Неравенство Коши-Буняковского.

Пусть задано линейное пространство. Возникает вопрос: можно ли измерять расстояние между элементами (векторами) этого пространства, находить углы между векторами и длины (модули) этих векторов. Ответы на этот вопрос дает понятие евклидова линейного пространства.

Определение 3.1. Если в линейном пространстве любым двум элементам можно поставить в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением векторов и удовлетворяющее аксиомам:

,

, ,

, ,

, причем ,

то это пространство называется евклидовым пространством.

Число называется скалярным квадратом вектора .

Аксиома определяет симметричность скалярного произведения, аксиомы – аддитивность и однородность по первому множителю, неотрицательность скалярного квадрата.

Поскольку евклидово пространство является линейным, то на него переносятся все понятия, определенные для линейного пространства. В частности, можно ввести понятие базиса и размерности евклидова пространства. Сформулируем простейшие следствия из аксиом евклидова пространства:

1) , ,

2) ,

3) .

Теорема 3.1. В евклидовом пространстве для любых двух векторов справедливо неравенство Коши-Буняковского:

. (3.1)

□ Отбрасывая тривиальный случай, когда один из векторов нулевой (в этом случае неравенство (3.1) выполняется), предположим, что . Рассмотрим при произвольном числе вектор и найдем его скалярный квадрат

.

Преобразовав скалярное произведение согласно аксиомам, получим

.

Левую часть полученного неравенства можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно (), принимающий неотрицательные значения при каждом . Тогда его дискриминант должен быть неположительным, то есть

,

откуда и следует неравенство (3.1). ■

Дата добавления: 2015-05-29