В правильной четырехугольной пирамиде sabcd, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC

Любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, или параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой.

5. Синус угла между прямой и плоскостью равен косинусу угла между нормалью ( ) к плоскости и направляющим вектором прямой ( ), поскольку эти два угла в сумме равны 90°.

То есть синус угла между прямой, направляющий вектор которой имеет координаты и плоскостью, заданной уравнением вычисляется по формуле:

Решим задачу:

Введем систему координат:

Начало кординат поместим в точку В, поэтому все координаты этой точки равны нулю.

Запишем уравнение плоскости SBC. Для этого найдем координаты точек S, B и C и подставим их в уравнение плоскости

(все ребра пирамиды равны 1)

– найдем длины проекций точки S на оси координат

Так как плоскость SBC проходит через начало координат, ,

Получим систему уравнений:

Отсюда , .

Уравнение плоскости имеет вид:

. Разделим обе части равенства на с, получим:

.

Таким образом, вектор нормали к плоскости SBC имеет координаты:

Найдем координаты направляющего вектора прямой BD. Для этого найдем координаты точек B и D, а затем из координат конца вычтем координаты начала.

D(1;1;0)

B(0;0;0),

Ответ:

Дата добавления: 2015-05-29