Последовательность Фейгенбаума как аналог собственной формы

Проблема качественных скачков в познании

На основании последовательности Фейгенбаума

Расширение формулы собственной формы

И.А. Сыченко

(в ответ на работу «Метакод и протокод»)

2014*

Теория исчисления форм[1] предлагает нам способ задания собственной формы через рекурсивную формулу:

х = f(x) (1)

Можно экстраполировать эту формулу на процесс познания, представляя функцию f способом познания, аргумент x – объектом познания, а значение функции – знанием. Процесс познания тоже носит рекурсивный характер, поэтому каждое новое значение на шаге n изменяется по сравнению с предыдущим шагом, однако с определенного шага это изменение становится сначала исчезающе малым, а затем и вовсе неразличимым. В таком случае мы утверждаем, что уже познали объект (и даже познали истину), поскольку сколь долго бы мы его дальше ни познавали, уже не замечаем изменения в понимании.

Если взглянуть на процессы познания более широко, то можно увидеть, что на определенном этапе, когда кажется, что объект познан и ничего нового невозможно выявить, происходит качественный скачок и дальнейшее развитие понимания предмета. Зачастую в таких случаях говорят, что посмотрели под другим углом, открыли новое измерение, подход и т.д.

Откуда в такой схеме берется качественное (а зачастую внезапное и скачкообразное!) изменение в понимании предмета изучения, будь то конкретный единичный объект или социальная система? В рамках формулы (1) появление нового подхода или взгляда под другим углом либо никак не вытекает, либо же скрыто и/или неявно встроено в функцию f.

В 1975 году Митчелл Фейгенбаум открыл универсальную постоянную, позже названную в его честь. Фейгенбаум работал с последовательностью, которая также была названа его именем. Суть работы заключалась в рекурсивном вызове функции, которая удовлетворяет простым условиям и легко подвергается анализу[2].

Функция выглядела следующим образом:

f_λ [0, 1] – [0, 1]: x → λx(1 – x) (2)

Иными словами, присутствует функция:

f(x) = λx(1 – x) (3)

Здесь λ – нормирующий коэффициент, призванный удержать область значений и определений в заданных рамках [0, 1]. Однако на самом деле его назначение значительно шире и точнее его следует называть бифуркационным параметром. Почему именно так, будет показано ниже.

Для начала рассмотрим n первых шагов рекурсивного вызова функции:

x₁ = f (x₀) = λx₀(1 – x₀)

x₂ = f(x₁) = f(f(x₀)) = λx₁(1– x₁)

…

x_n = f(x_n–1) = f ⁿ(x₀) = λx_n-1(1 – x_n–1)

Здесь запись f ⁿ означает рекурсивный вызов n раз функции f.

Метод получения нового значения на каждом шаге рекурсивного вызова полностью совпадает с тем, который применяется при исчислении форм. Кроме того, сами функции, описанные формулами (1) и (3) ведут себя идентично.

Как и в случае с процессом познания в последовательности Фейгенбаума на первый взгляд ожидается, что последовательность значений, которые получаются бесконечным рекурсивным вызовом функции f (т.е. при n → ∞) будет сводиться к определенному числу, то есть аттрактору. Обозначим получаемый аттрактор как x_А. Причем, это будет происходить независимо от нормирующего коэффициента λ и x₀, если они удовлетворяют условиям функции.

Например, взяв нормирующий коэффициент λ = 2,5 для формулы (3), мы видим, что бесконечный рекурсивный вызов функции f приводит к значению 0,6 (x_А = 0,6), независимо от того, какое изначальное значение x₀ взято. Такую же картину мы видим при множестве других значений λ.

Однако наши ожидания не оправдываются, если брать значения λ в интервале [3, 4]. При λ = 3 аттрактор теряет свою устойчивость, и вместо единственного значения x_А мы получаем два значения. К примеру, при λ = 3,2, мы заметим, что возникает периодическая орбита с периодом 2, т.е. получаемое значение x колеблется между: x_А ′ ≈ 0,799 и x_А ′′ ≈ 0,513. При значении λ = 3,5, функция колеблется между четырьмя значениями: x_А ′ ≈ 0,395, x_А ′′ ≈ 0,861, x_А ′′′ ≈ 0,432, x_А ′′′′ ≈ 0,883.

Графически всё многообразие получаемых результатов можно отобразить бифуркационной диаграммой:

Диаграмма показывает появление всего многообразия аттракторов при различных значениях λ. Именно поэтому λ не столько некий «уточняющий» нормирующий коэффициент, а скорее бифуркационный параметр радикально влияющий на x_А.

Дата добавления: 2015-05-29