Проверка непараметрических гипотез

На практике наиболее часто встречаются с проверкой непараметрических гипотез, так как, имея экспериментальные данные, мы, как правило, не знаем закона распределения наблюдаемой случайной величины. Наиболее часто рассматривается задача о согласованности полученной выборки с некоторым классом функций распределения. В таком случае проверка непараметрической гипотезы осуществляется с помощью критериев согласия. Рассмотрим ряд наиболее часто встречающихся критериев согласия.

Критерий согласия Пирсона (критерий хи-квадрат)

Пусть имеется выборка . Выдвигаем гипотезу H ₀, состоящую в том, что выборка взята из генеральной совокупности, закон распределения которой имеет функцию распределения .

Рассмотрим вначале простую гипотезу, т.е. будем считать, что параметры функция распределения известны. Разобьем всю область значений случайной величины на k взаимно непересекающихся интервалов (h_{i -} ,, h_i), h ₀ = −∞, h_k = +∞. Чаще всего разбиение производят на равные по длине интервалы, кроме бесконечных крайних интервалов. Зная функцию распределения находим гипотетические вероятности попадания случайной величины в построенные интервалы

По выборочном данным подсчитываем количество членов выпавших в i -й интервал, обозначим его п_i. Если гипотеза H ₀ справедлива, то математическое ожидание п_i должно быть равно np_i. Тогда статистику критерия есть смысл построить, рассматривая отклонения п_i − np_i. Пирсон предложил в качестве статистки критерия взять величину

Построенная таким образом статистика критерия зависит от п_i, и не зависит от x_i, т.е. от элементов выборки. В результате проверяется гипотеза о значениях p_i. Таким образом, критерий хи-квадрат сводит задачу о проверке согласия выборки сфункцией распределения к проверке простой параметрической гипотезы о значениях вероятностей p_i полиномиального распределения. Доказано, что статистика критерия распределена по закону .Зная закон распределения статистики критерия, строим односторонюю критическую область .

Критерий согласия Колмогорова Критерий согласия Колмогорова более удобен тем, что при применении этого критерия не нужна группировка выборочных данных, которая всегда приводит к некоторой потере информации. Пусть дана выборка . По этой выборке выдвигается гипотеза H ₀, состоящая в той, что данная "выборка" взята из генеральной совокупности, закон распределения которой имеет функцию распределения . По данной выборке можно построить эмпирическую функцию распределения . Критерий Колмогорова основывается на сравнении этих функций распределения. Определение. Статистикой критерия Колмогорова является функция Колмогоров доказал, что асимптотическое распределение ста­тистики есть

Дата добавления: 2015-05-26