КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Криволинейный интеграл II-го рода
С Т А Т И С Т И К А КУРСОВА РОБОТА
(Модульна контрольна робота 3)
з дисципліни
Тема теоретичної частини:
“_____________________________________________________________________”
Варіант практичної частини _____
Виконав (-ла) студент _________ гр. ФЕП ПІБ________________________________
Оцінка: __________________________ (в балах та за національною системою)
Голова комісії ____________(Л.Турова) Члени комісії ____________(В.Ковтуненко) ____________(Н.Задерака)
2015 рік Рассмотрим некоторую область точек трехмерного пространства или плоскости (двумерного пространства) . Область называется скалярным полем, если каждая точка из этой области характеризуется определенным числом . Таким образом, становится скалярным полем, если задается числовая функция , для которой является областью определения. Область называется векторным полем, если каждая ее точка характеризуется вектором , исходящим их этой точки. Векторное поле будет задано, если задать векторную функцию с областью определения , . Задание векторного поля равносильно заданию трех числовых функций (в выбранной системе координат OXYZ с базисом ), каждая из которых зависит от трех переменных: . Если - плоская область, то скалярное поле задается функцией , а векторное поле имеет вид: - поле плоское. В дальнейшем будем считать, что функции , а также непрерывны в и имеют в этой области непрерывные частные производные первого порядка. Df.1 Пусть определена в , , . Совокупность векторной функции и области ее определения называется векторным полем. Т.е.: . Если считать, что - конец радиуса вектора , то можно обозначить . Если или , то в координатной форме: . Df.2 Пусть простая ориентированная спрямляемая кривая; определена на - единичный вектор касательной к кривой . Криволинейным интегралом по дуге от векторной функции называется криволинейный интеграл I-го рода:
(1) * Простая кривая называется спрямляемой, если существует предел длин ломанных, вписанных в кривую при (этот предел называется длиной кривой ). Аналогичные определения имеют место для пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями в координатном пространстве OXYZ.
Векторными линиями векторного поля называются такие линии, у которых касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке векторного поля. Пусть , а линия определена уравнением: . Тогда вектор: является касательным к линии . Если параллельно , то получим дифференциальное уравнение линии: . Векторное поле не только порождает семейство векторных линий, но и определяет на этих линиях направление. Положительное направление вектора выбирается в соответствии с положительным направлением обхода кривой . Пусть . - направляющие косинусы. - векторное поле в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда запись эквивалентная (1) имеет вид: (2) Отметим, что - функции параметра кривой . Рассмотрим: = . Где - проекции вектора на оси координат, то интеграл можно записать в виде: (3) Последний интеграл (3) называют общим криволинейным интегралом II-го рода. Его можно рассматривать как сумму трех интегралов: (4) Интегралы (4) также называют криволинейными интегралами II-го рода в отличие от криволинейных интегралов I-го рода. Формула (3) дает практически связь криволинейного интеграла II-го рода с криволинейным интегралом I-го рода. Df.3 Пусть - кусочно-гладкая кривая; определена на . Криволинейным от векторной функции называется: . Перейдем к условиям существования криволинейного интеграла от векторной функции, т.к. он сводится (также как и криволинейный интеграл II-го рода) к криволинейному интегралу I-го рода, то эти условия имеют аналогичный вид сформулированный ранее.
Th.1 (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ). Пусть существует и кусочно-гладкая - ограничена на (т.е. ограничены на ). (Б/Д). Th.2 Пусть , что (т.е. ), кусочно-гладкая . Th.3 (СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА II-ГО РОДА К ОПРЕДЕЛЕННОМУ). Пусть гладкая, , что , тогда: + + . Доказательство: По введенным определениям: , таким образом: (6) Существование интеграла следует из достаточных условий теоремы 2. ЗАМЕЧАНИЕ. Для плоского векторного поля линейный интеграл . Основное правило вычисления кратного интеграла сводится к следующему: чтобы вычислить кратный интеграл вдоль данной линии, его нужно преобразовать в определенный интеграл. Для этого все переменные под знаком интеграла следует выразить через одну переменную, используя уравнения той линии, вдоль которой ведется интегрирование. Рассмотрим плоское поле . а) Если . ● ● То: + . б) Если - гладкая, уравнение дуги имеет вид , то принимая x за параметр, получим: , тогда: . б’) Если гладкая, имеет вид , y изменяется на .
, y – параметр. Тогда: . в) Если гладкая заданная системой уравнений: т.е. определена, как пересечение двух цилиндрических поверхностей. Тогда: + . г) Если уравнение имеет более сложный вид: , то нужно заменить эту систему равносильной ей системой вида: , либо введя параметр , привести к виду: . Все указанные выше формулы верны в тех случаях, когда линия является гладкой. Если дуга - кусочно-гладкая или состоит из различных дуг (с различными уравнениями), то криволинейный интеграл по всему пути равен сумме интегралов по составляющим его дугам. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Сопоставляя определение криволинейного интеграла II-го рода с определением криволинейного интеграла I-го рода, при очевидном сходстве оба определения имеют существенное различие: 1) в случае интеграла I-го рода при составлении интегральной суммы значение функции умножается на длину участка кривой . 2) А в случае интеграла II-го рода это значение умножается на проекцию (или ) участка кривой на ось x (или на ось y). ЗАМЕЧАНИЕ 2. а) Общий криволинейный интеграл II-го рода физически представляет собой работу по перемещению материальной точки из A в В вдоль кривой Г под действием силы, имеющей составляющие .
б) Физически криволинейный интеграл I-го рода представляет собой массу кривой Г, линейная плотность вдоль которой равна . ЗАМЕЧАНИЕ 3. Из определения криволинейных интегралов следует, что: а) Криволинейный интеграл I-го рода не зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к А) пробегает кривая Г. б) Для кратного интеграла II-го рода изменение направления на кривой ведет к изменению знака, т.е.: .
Дата добавления: 2015-05-29; Просмотров: 351; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |