Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Криволинейный интеграл II-го рода




С Т А Т И С Т И К А

КУРСОВА РОБОТА

 

 

(Модульна контрольна робота 3)

 

з дисципліни

 

 

 

Тема теоретичної частини:

 

“_____________________________________________________________________”

 

 

Варіант практичної частини _____

 

Виконав (-ла) студент _________ гр. ФЕП

ПІБ________________________________

 

 

Оцінка: __________________________

(в балах та за національною системою)

 

Голова комісії ____________(Л.Турова)

Члени комісії ____________(В.Ковтуненко)

____________(Н.Задерака)

 

2015 рік

Рассмотрим некоторую область точек трехмерного пространства или плоскости (двумерного пространства) .

Область называется скалярным полем, если каждая точка из этой области характеризуется определенным числом . Таким образом, становится скалярным полем, если задается числовая функция , для которой является областью определения.

Область называется векторным полем, если каждая ее точка характеризуется вектором , исходящим их этой точки.

Векторное поле будет задано, если задать векторную функцию с областью определения , .

Задание векторного поля равносильно заданию трех числовых функций (в выбранной системе координат OXYZ с базисом ), каждая из которых зависит от трех переменных:

.

Если - плоская область, то скалярное поле задается функцией , а векторное поле имеет вид:

- поле плоское.

В дальнейшем будем считать, что функции , а также непрерывны в и имеют в этой области непрерывные частные производные первого порядка.

Df.1 Пусть определена в , , . Совокупность векторной функции и области ее определения называется векторным полем. Т.е.:

.

Если считать, что - конец радиуса вектора , то можно обозначить .

Если или , то в координатной форме:

.

Df.2 Пусть простая ориентированная спрямляемая кривая; определена на - единичный вектор касательной к кривой . Криволинейным интегралом по дуге от векторной функции называется криволинейный интеграл I-го рода:

(1)

* Простая кривая называется спрямляемой, если существует предел длин ломанных, вписанных в кривую при (этот предел называется длиной кривой ). Аналогичные определения имеют место для пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями в координатном пространстве OXYZ.

 

Векторными линиями векторного поля называются такие линии, у которых касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке векторного поля.

Пусть , а линия определена уравнением:

.

Тогда вектор:

является касательным к линии .

Если параллельно , то получим дифференциальное уравнение линии:

.

Векторное поле не только порождает семейство векторных линий, но и определяет на этих линиях направление.

Положительное направление вектора выбирается в соответствии с положительным направлением обхода кривой .

Пусть . - направляющие косинусы. - векторное поле в прямоугольной декартовой системе координат.

Тогда запись эквивалентная (1) имеет вид:

(2)

Отметим, что - функции параметра кривой . Рассмотрим:

= . Где - проекции вектора на оси координат, то интеграл можно записать в виде:

(3)

Последний интеграл (3) называют общим криволинейным интегралом II-го рода.

Его можно рассматривать как сумму трех интегралов:

(4)

Интегралы (4) также называют криволинейными интегралами II-го рода в отличие от криволинейных интегралов I-го рода.

Формула (3) дает практически связь криволинейного интеграла II-го рода с криволинейным интегралом I-го рода.

Df.3 Пусть - кусочно-гладкая кривая; определена на . Криволинейным от векторной функции называется:

.

Перейдем к условиям существования криволинейного интеграла от векторной функции, т.к. он сводится (также как и криволинейный интеграл II-го рода) к криволинейному интегралу I-го рода, то эти условия имеют аналогичный вид сформулированный ранее.

Th.1 (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ).

Пусть существует и кусочно-гладкая - ограничена на (т.е. ограничены на ).

(Б/Д).

Th.2 Пусть , что (т.е. ), кусочно-гладкая .

Th.3 (СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА II-ГО РОДА К ОПРЕДЕЛЕННОМУ).

Пусть гладкая, , что , тогда:

+

+ .

Доказательство:

По введенным определениям:

, таким образом:

(6)

Существование интеграла следует из достаточных условий теоремы 2.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Для плоского векторного поля линейный интеграл .

Основное правило вычисления кратного интеграла сводится к следующему: чтобы вычислить кратный интеграл вдоль данной линии, его нужно преобразовать в определенный интеграл. Для этого все переменные под знаком интеграла следует выразить через одну переменную, используя уравнения той линии, вдоль которой ведется интегрирование.

Рассмотрим плоское поле .

а) Если .

То:

+ .

б) Если - гладкая, уравнение дуги имеет вид , то принимая x за параметр, получим:

,

тогда:

.

б’) Если гладкая, имеет вид , y изменяется на .

, y – параметр.

Тогда:

.

в) Если гладкая заданная системой уравнений:

т.е. определена, как пересечение двух цилиндрических поверхностей.

Тогда:

+ .

г) Если уравнение имеет более сложный вид:

,

то нужно заменить эту систему равносильной ей системой вида:

,

либо введя параметр , привести к виду:

.

Все указанные выше формулы верны в тех случаях, когда линия является гладкой. Если дуга - кусочно-гладкая или состоит из различных дуг (с различными уравнениями), то криволинейный интеграл по всему пути равен сумме интегралов по составляющим его дугам.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

Сопоставляя определение криволинейного интеграла II-го рода с определением криволинейного интеграла I-го рода, при очевидном сходстве оба определения имеют существенное различие:

1) в случае интеграла I-го рода при составлении интегральной суммы значение функции умножается на длину участка кривой .

2) А в случае интеграла II-го рода это значение умножается на проекцию (или ) участка кривой на ось x (или на ось y).

ЗАМЕЧАНИЕ 2.

а) Общий криволинейный интеграл II-го рода физически представляет собой работу по перемещению материальной точки из A в В вдоль кривой Г под действием силы, имеющей составляющие .

б) Физически криволинейный интеграл I-го рода представляет собой массу кривой Г, линейная плотность вдоль которой равна .

ЗАМЕЧАНИЕ 3.

Из определения криволинейных интегралов следует, что:

а) Криволинейный интеграл I-го рода не зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к А) пробегает кривая Г.

б) Для кратного интеграла II-го рода изменение направления на кривой ведет к изменению знака, т.е.:

.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-29; Просмотров: 351; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.06 сек.