Координаты центров тяжести однородных тел

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для изучения динамики движении тел с учетом трения скольжения и трения качения, динамики движения центра масс механической системы, кинетических моментов, для решения задач в дисциплине «Сопротивление материалов».

Лекция 4. Центр тяжести.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы

1. Центр тяжести твердого тела.

2. Координаты центров тяжести однородных тел.

3. Центры тяжести некоторых однородных тел.

Центр тяжести твердого тела.

На любую частицу тела, находящегося вблизи земной поверхности, действует направленная вертикально вниз сила, называемая силой тяжести. Сила тяжести является равнодействующей силы притяжения Земли и центробежной силы, возникающей вследствие вращения тела вместе с Землей.

Для тел, размеры которых очень малы по сравнению с земным радиусом, силы тяжести частиц тела можно считать параллельными друг другу и сохраняющими для каждой частицы постоянную вели­чину при любых поворотах тела. Поле тяжести, в котором выпол­няются эти два условия, называют однородным полем тяжести.

Рис.36

Равнодействующую сил тяжести , , …, , действующих на частицы данного тела, обозначим (рис. 36). Модуль этой силы равен весу тела и определяется равенством .

Равнодействующая сил будет при любых положениях тела про­ходить через одну и ту же неизменно связанную с телом точку С, являющуюся центром параллельных сил тяжести . Эта точка и называется центром тяжести тела. Таким образом, центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую про­ходит линия действия равнодействующей, сил тяжести частиц данного тела при любом положении тела, в пространстве. Координаты центра тяжести, опре­деляются формулами:

где x_k, у_k, z_k - координаты точек приложения сил тяжестиp_k ча­стиц тела.

Отметим, что согласно определению центр тя­жести — это точка геометрическая; она может лежать и вне преде­лов данного тела (например, для кольца).

Для однородного тела вес p_k любой его части пропорционален объему этой части: , а вес Р всего тела пропорционален объему V этого тела , где γ - вес единицы объема.

Подставив эти значения Р и p_k в предыдущие формулы, мы заметим, что в числителе γ как общий множитель выносится за скобку и со­кращается с γ в знаменателе. В результате получим:

Как видно, центр тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, а от величины γ не зависит. По этой причине точку С, координаты которой определяются формулами, называют центром тяжести объема V.

Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело пред­ставляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее

где S - площадь всей пластины, a s_k - площади ее частей.

Точку, координаты которой определяются формулами называют центром тяжести площади S.

Точно так же получаются формулы для координат центра тя­жести линии:

где L — длина всей линии, l — длины ее частей.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

Дата добавления: 2015-06-04