КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Будем предполагать, что функция и(х, у, z) непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D
Производная по направлению. Градиент Рассмотрим в области D функцию и = и (х, у, z) и точку М (х, у, z). Проведем из точки М вектор S, направляющие косинусы которого cos a, cos b, cos g (рис. 5). На векторе S на расстоянии D s от его начала рассмотрим точку М 1(х + D х, у + D у, z + D z). Таким образом,
Полное приращение функции представим так: , (36) где e1, e2 и e3 стремятся к нулю при D s ® 0. Разделим все члены равенства (36) на D s: . (37) Очевидно, что , , . Следовательно, равенство (37) можно переписать так: . (38) Предел отношения при D s ® 0 называется производной от функции и = и (х, у, z) в точке (х, у, z) по направлению вектора S и обозначается , т.е. . Таким образом, переходя к пределу в равенстве (38), получим . (39) Из формулы (39) следует, что, зная частные производные, легко найти производную по любому направлению S. Сами частные производные являются частным случаем производной по направлению. Так, например, при a = 0, , получаем: . Пример 37. Дана функция . Найти производную в точке М (1, 1, 1) в направлении вектора S = 2 i + j + 3 k. Находим направляющие косинусы вектора S: , , . Следовательно, . Частные производные , , в точке М (1, 1, 1) будут , , . Итак, . В каждой точке области D, в которой задана функция u = u (x, y, z), определим вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке: . Этот вектор называется градиентом функции u (x, y, z). Говорят, что в области D определено векторное поле градиентов. Докажем, следующую теорему, устанавливающую связь между градиентом и производной по направлению. Теорема. Пусть дано скалярное поле и = u (x, y, z) и определено в этом скалярном поле поле градиентов
. Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad и на вектор S. Доказательство. Рассмотрим единичный вектор S 0, соответствующий вектору S: S 0 = i cos a + j cos b + k cos g. Вычислим скалярное произведение векторов grad и и S 0: . Выражение, стоящее в правой части этого равенства, есть производная от функции u (x, y, z) по направлению вектора S. Следовательно, мы можем написать . Если обозначим угол между векторами grad и и S 0 через j (рис. 6), то можно написать (40) или . Теорема доказана.
На основании доказанной теоремы наглядно устанавливается связь между градиентом и производной в данной точке по любому направлению. В данной точке М (х, у, z) строим вектор grad и (рис. 7). Строим сферу, для которой grad и является диаметром. Из точки М (х, у, z) проводим вектор S. Обозначим точку пересечения вектора S с поверхностью сферы через Р. Тогда очевидно, что МР = |grad u | cosj, если j - угол между направлениями градиента и отрезка МР (при этом ), т.е. . Очевидно, что при изменении направления вектора S на противоположное производная изменит знак, а ее абсолютная величина останется прежней. Установим некоторые свойства градиента. 1. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, если направление вектора S совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно |grad u |. Справедливость этого утверждения непосредственно следует из равенства (40): наибольшее значение будет при j = 0, и в этом случае . 2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad и, равна нулю. Это утверждение следует из формулы (40). Действительно, в этом случае , cos j = 0 и . Пример 38. Дана функция и = х 2 + у 2 + z 2. Определим градиент в точке М (1, 1, 1). Выражение градиента этой функции в произвольной точке будет grad u = 2 x i + 2 y j + 2 z k. Следовательно,
grad u | M = 2 i + 2 j + 2 k, . Определим производную от функции и в точке М (1, 1, 1) в направлении градиента. Направляющие косинусы градиента будут , , . Следовательно, , т.е. . Замечание. Если функция и = и (х, у) есть функция двух переменных, то вектор лежит в плоскости Оху. Докажем, что grad и направлен перпендикулярно к линии уровня и (х, у) = с, лежащей в плоскости Оху и проходящей через соответствующую точку. Действительно, угловой коэффициент k 1 касательной к линии уровня и (х, у) = с будет равен . Угловой коэффициент k 2 градиента равен . Очевидно, что k 1 k 2 = -1. Это и доказывает справедливость нашего утверждения. Аналогичное свойство имеет градиент функции трех переменных. Пример 39. Определить градиент функции в точке М (2, 4). Здесь , . Следовательно, grad u = 2 i + j.
Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 767; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |