Кривые на плоскости

Алгебраическая кривая второго порядка: , где числа - не равны нулю одновременно.

Классификация кривых второго порядка:

1) если , то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при ), эллипс (при ), пустое множество, точку);

2) если , то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых);

3) если , то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых).

Окружность, эллипс, гипербола и парабола являются невырожденными кривыми второго порядка.

Окружность. Каноническое уравнение окружности: , где радиус окружности, точка - центр окружности.

Нормальное уравнение окружности: . Оно определяет окружность с центром в точке и радиусом .

Эллипс. Каноническое уравнение эллипса: , .

Числа и - большая и малая полуоси эллипса; точки , , , - вершины; оси и - главные оси симметрии; точка - центр симметрии ( или просто центр) эллипса; прямоугольник со сторонами , параллельными главным осям симметрии и центром в точке - основной прямоугольник эллипса; точки и , где - фокусы эллипса; векторы и - фокальные радиус-векторы; числа и - фокальные радиусы точки , принадлежащей эллипсу; число () - эксцентриситет эллипса (при эллипс является окружностью); прямые и - директрисы эллипса.

Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы , .

Числа и - действительная и мнимая полуоси гиперболы; точки , - вершинами; оси и - главные оси симметрии; точка - центр симметрии ( или просто центр) гиперболы; прямоугольник со сторонами , параллельными главным осям симметрии и центром в точке - основной прямоугольник гиперболы; точки и , где - фокусы гиперболы; векторы и - фокальные радиус-векторы; числа и - фокальные радиусы точки , принадлежащей гиперболе; число () - эксцентриситет гиперболы; прямые и - директрисы гиперболы; прямые и называются асимптотами гиперболы (они проходят через противоположные вершины основного прямоугольника гиперболы).

Парабола. Каноническое уравнение параболы: , .

Число - параметр параболы; ось - ось симметрии; точка – вершина параболы; точка - фокус параболы; вектор - фокальный радиус-вектор; число - фокальный радиус точки , принадлежащей параболе; прямая - директриса параболы.

Плоскость.

1) - общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости;

2) - уравнение плоскости, проходящей через точку вектору ;

3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки , и ;

4) -уравнение плоскости в отрезках, где , и - дины отрезков (со знаком ), отсекаемых плоскостью на осях , и («», если на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Если .

Расстояние от точки до плоскости : .

Угол , () между плоскостями и : .

, если

, если .

Дата добавления: 2015-06-04