Доказательство. Признаки Даламбера, Коши, Гаусса

Признаки Даламбера, Коши, Гаусса

Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения.

Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем в общем случае. Это связано с тем, что у знакопостоянных рядов последовательность частичных сумм монотонна. Для определенности будем считать, что все . Тогда частичные суммы ряда образуют монотонно возрастающую последовательность.

Теорема 2. (Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Для сходимости ряда где необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Необходимость. Пусть . Тогда .

Достаточность. Пусть . Поскольку , последовательность возрастает и, по условию, ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. 1-ый семестр), она имеет предел, то есть ряд сходится.

Простые следствия из этого критерия – очень полезные теоремы сравнения.

Теорема 3. (Допредельный признак сравнения) Пусть выполняется неравенство и пусть ряд – сходится. Тогда сходится ряд .

Доказательство. Очевидны неравенства . По условию – сходится. Значит, по приведенному выше критерию, . Но тогда и и, значит, ряд - сходится.

Примечание 1. Эта теорема может быть сформулирована и так: Пусть выполняется неравенство и пусть ряд – расходится. Тогда рассходится ряд . Действительно, если бы этот ряд сходился, то по теореме сравнения должен был бы сходиться и ряд .

Примечание 2. Теорема сравнения справедлива и в случае, когда неравенство выполняется, начиная с некоторого номера .

Теорема 4. (Предельный признак сравнения). Пусть и . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно. (Т.е. не может быть так, что один из них сходится, а другой расходится).

Доказательство. . Выберем . Тогда (т.к. ) при .

Если ряд – сходится, то сходится и ряд (по примечанию 2 к допредельной теореме сравнения). Тогда и ряд – сходится.

Если ряд – сходится, то сходится и ряд и, следовательно, сходится ряд .

Теорема доказана.

Пример.3. Ряд сходится, т.к.

при и ряд – сходится.

Примечание 3. Если , то, начиная с некоторого номера , имеем и из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда . Аналогично рассматривается случай .

Дата добавления: 2015-06-04