Решение графо-аналитическим методом по правилу треугольника

1. Изобразим (рис. 34, а) стержень АВ в горизонтальном положении, т. е. в том, какое он должен занимать по условию, и допустим, что к концу В стержня приложена нагрузка G, равная весу груза, т. е.
G = mg = 200 * 9,81 = 1960 н = 1,96 кн.

Известно, что этот стержень должен испытывать сжимающее усилие 1,5 кн. Поэтому сила, приложенная к стержню в точке В, будет направлена от В к А. Обозначим эту силу N_A.

Расположение стержня ВС кронштейна неизвестно и поэтому он условно показан штриховой линией.

2. Строим силовой треугольник (рис. 34, б). Из произвольной точки D отложим вертикальный отрезок DE, изображающий вес груза G, и горизонтальный отрезок DF, изображающий силу N_A, сжимающую стержень АВ, т. е. известное слагаемое вектора G.

Для того чтобы найти второе слагаемое вектора G – вектор N_C (усилие в стержне ВС), необходимо из вектора G вычесть вектор N_A. Чтобы выполнить это действие по правилу треугольника, соединим точки F и Е. Сторона FE получившегося треугольника изображает искомое усилие N_C(правило вычитания векторов показано на рис. 3).

3. Треугольник DEF прямоугольный, поэтому
N_C = sqrt(G² + N_A²) = sqrt(1,96² + 1,5²) = 2,45 кн.

Если мысленно в точку В кронштейна перенести силу N_C, то ее направление определит положение стержня ВС относительно АВ.

Угол ABC (рис. 34, в) между стержнями должен быть равен углу между линиями действия сил N_A и N_C, т. е. углу DFE=α:
sin α = G/N_C = 1,96/2,45 = 0,776
и
α = 51°.

Таким образом, если в кронштейне стержень ВС расположить к горизонтальному стержню ВА под углом α=51°, то груз весом G=l,96 кн, действующий на точку В кронштейна, вызовет в стержне ВА сжимающее усилие N_A=1,5 кн, а в стержне ВС – растягивающее усилие N_C=2,45 кн.

Если при изготовлении кронштейна увеличить угол α (α>51°), то уменьшится нагрузка на оба стержня, причем при вертикальном положении стержня ВС (α=90°) усилие N_A в горизонтальном стержне станет равным нулю, а N_C=G=1,96 кн.

Если же при изготовлении кронштейна угол α уменьшить (α<51°), то усилия в обоих стержнях увеличатся.

В этом легко можно убедиться, построив на заданном векторе G силовые треугольники, углы которых α>51° или α<51°.

Условие задачи Между высокими стенами необходимо временно подвесить некоторый груз весом 140 кГ на одинаковом расстоянии по 1 м от стен и на высоте 1 м от горизонтального пола. Имеются два куска каната по несколько метров длины каждый. Один из канатов с учетом безопасности подвески можно нагрузить усилием не более 70 кн, а второй – усилием не более 100 кн. На какой высоте над полом необходимо укрепить концы канатов, чтобы после подвески к ним груза в заданном положении усилия в канатах не превышали допускаемых 70 и 100 кн? << задача 25 || задача 27 >>

Решение 1 (графическим методом по правилу параллелограмма)

1. Выбираем масштаб построения так, что длина 1 м изображается на чертеже отрезком, равным 12,5 мм (1 м в 12,5 мм):
μ _l = 1 м / 12,5 мм = 0,08 м/мм
и строим две вертикальные стены и горизонтальный пол (рис. 35).

В выбранном масштабе расстояние l =2 м между стенами на чертеже изобразим отрезком, равным
1/μ _l = 2 м / 0,08 м/мм = 25 мм*.

На расстоянии 1 м от пола и по 1 м от стен отмечаем точку А, в которой должен быть подвешен груз.

1. Выбираем масштаб сил μ_сил=4 кн/мм (4 кн в 1 мм длины). Значит груз G=140 кн изобразится отрезком
AB = G/μ_сил = 140/4 = 35 мм.

Отложим этот отрезок из точки А на чертеже.

По условию задачи, усилие в канатах не должно быть больше N₁=70 кн и N₂=100 кн. Эти усилия в выбранном масштабе изобразятся отрезками
AC = N₁/μ_сил = 70/4 = 17,5 мм,
AD = N₂/μ_сил = 100/4 = 25 мм.

Сделав при помощи циркуля засечки радиусами, равными этим длинам, сначала из точки A, а затем из точки В получим параллелограмм ACBD.

3. Усилия N₁ и N₂ должны действовать вдоль канатов, поэтому, продлив отрезок СА до пересечения с правой стеной, получим на ней точку E – место закрепления одного каната и, продлив отрезок DA, получим на левой стене точку F – место закрепления второго каната.

4. Измерив на чертеже расстояние от точки Е до линии пола, получим 25 мм, значит точка закрепления первого каната должна находиться от пола на расстоянии, не меньшем
H₁ = 25 мм * 0,08 м/мм ≈ 2.

Измерив расстояние от точки F до линии пола, получим 36 мм. Значит точка закрепления второго каната должна находиться от пола на расстоянии, не меньшем
H₂ = 36 мм * 0,08 м/мм ≈ 2,9 м.

Для большей безопасности подвески, если позволяют длины кусков канатов, обе точки их закрепления можно поднять выше. Усилия в канатах при этом уменьшатся.

Решение 2 (графо-аналитическим методом по правилу параллелограмма)

1. Для графо-аналитического решения нужно также выполнить чертеж без соблюдения точного масштаба. Воспользуемся рис. 35, на котором ясно видно, что искомые расстояния можно получить как суммы

Сравнив результаты, полученные в решении 2, с результатами графического решения, увидим, что они практически совпадают.

* Описываемое в тексте построение рекомендуется воспроизвести на листе бумаги, но в ином масштабе, например 0,04 м/мм или 0,02 м/мм.

Условие задачи На конце В стержня АВ, длина которого AB= l, шарнирно прикрепленного в точке А к вертикальной стене, необходимо подвесить груз весом G=6 кн, причем стержень АВ должен образовывать со стеной угол 45° (рис. 36, а). На каком расстоянии Н от точки А необходимо прикрепить трос СВ, удерживающий стержень в заданном положении, если трос может быть нагружен усилием не более 4,5 кн? Определить также усилие, возникшее в стержне АВ после подвески к нему груза. << задача 26 || задача 33 >>

Решение (графо-аналитическим методом по правилу параллелограмма)

1. Из произвольной точки a в произвольном масштабе проведем отрезок ab который изобразит вектор G – вес груза (рис. 36, б).

Так как стержень АВ должен занимать положение под углом 45° к вертикальной стенке, то усилие S в этом стержне будет направлено под углом 45° к направлению G. Проведем из точек a и b вектора G параллельные прямые под углом α=45° к линии действия вектора G (линии I-I и II-II).

Если теперь из точки a отложить вектор, численно равный усилию N=4,5 кн, максимально допустимому в тросе ВС (см. рис. 36, а), то увидим, что этот отрезок пересечет линию II—II в двух точках – в точках c и d. Проделав ту же операцию из точки b, получим два параллелограмма: первый acbe и второй adbf.

Это значит, что задача допускает бесчисленное множество решений*. При одном и том же направлении усилия S в стержне АВ трос может быть направлен к стержню под углом β, но не менее β₁ и не более β₂, (β₁≤β≤β₂).

* В предельном случае, если уменьшим заданное допускаемое усилие в тросе, задача может иметь одно решение (дуга cd, проведенная из a, касается линии II-II). При дальнейшем уменьшении допускаемого усилия в тросе задача практически неосуществима.

Условие задачи Определить равнодействующую четырех сил: P₁=18 кГ, P₂=10 кГ, P₃=6 кГ и P₄=8 кГ, приложенных к одной точке A и направленных, как показано на рис. 42. << задача 27 || задача 34 >>

Дата добавления: 2015-06-04