Распределение Ферми–Дирака

Лекция 15

Квантовая статистика Ферми–Дирака описывает идеальный газ из фермионов – ферми–газ.

Распределение Ферми–Дирака – закон, выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в ферми–газе:

при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i–ом состоянии с энергией E_i при температуре Т равно:

.

Из этой формулы следует, что < N_i>_Ф-Д не может быть больше единицы. Это означает, что в одном квантовом состоянии не может находиться более одной ферми–частицы, что согласуется с принципом Паули

Химический потенциалдля фермионов может быть только положительным (μ > 0). Иначе при числа заполнения стали бы равными нулю, чего естественно быть не может.

Для случая малых чисел заполнения (< N_i>_Ф-Д << 1) получаем

и

Тогда (пренебрегая единицей в знаменателе) получаем

, где А = ехр

Распределение Ферми–Дирака при малых числах заполнения (разреженный газ фермионов) переходит в классическое распределение Максвелла–Больцмана.

I – статистическое распределение

Максвелла–Больцмана;

II – статистическое распределение

Ферми–Дирака.

Можно сделать вывод, что разреженные квантовые газы (и в случае бозонов, и в случае фермионов) не являются вырожденными и подчиняются классической статистике.

Хотя квантовая статистика в данном случае приводит к тем же результатам, что и классическая, квантовая природа частиц газа остаётся неизменной.

Кардинальное различие между статистическими распределениями Максвелла–Больцмана и Ферми–Дирака наблюдаются при . Классические частицы могут накапливаться в одном и том же состоянии в большом количестве. Для них < N_i> тем больше, чем меньше их энергия Е. Что же касается фермионов, то максимальное их число в одном квантовом состоянии не может превышать единицу, что согласуется с принципом Паули.

Химический потенциал μ имеет размерность энергии и в случае фермионов его называют энергией Ферми или уровнем Ферми и обозначают E_F. При этом распределение Ферми–Дирака принимает вид

< N_i>_Ф-Д = .

Энергия Ферми является медленно меняющейся функцией температуры Т.

Подставляя в это выражение Т = 0 (говоря о Т = 0, подразумевают, что температура может быть сколь угодно близка к абсолютному нулю, т.е. ) получаем

< N_i>_Ф-Д = 1 при E < E_F (0)

< N_i>_Ф-Д = 0 при E > E_F (0)

Здесь Е_F (0) – значение энергии Ферми при Т = 0.

Полученные результаты показывают, что все квантовые состояния с энергиями E < E_F (0) оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями E > E_F (0) – свободными.

Физический смысл энергии Ферми заключается в том, что при энергия Ферми E_F (0) является максимальной энергией, которой могут обладать фермионы.

Ниже приведены графики зависимости < N_i> от Е при Т = 0 (слева) и при Т (справа)

При Т = 0 распределение Ферми–Дирака представляет собой ступенчатую функцию единичной высоты, обрывающуюся при Е = Е_F (0).

При температуре отличной от нуля резкий скачок <N_i>_Ф-Д от единицы до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, ширина которой порядка kT

При любой температуре отличной от нуля при E = E_F.

Наряду с энергией Ферми E_F при анализе поведения ферми-частиц вводится также импульс Ферми p_F и скорость Ферми υ_F, определяемые соотношениями

и .

Это максимальные импульс и скорость, которыми может обладать ферми-частица с массой т_о при температуре Т = 0.

Дата добавления: 2015-06-04