Похідної комплексної функції

Нехай диференційована в точці , тоді , де , – відстані між , на площині і їх образами , на площині . Тоді – коефіцієнт розтягу вектора при відображенні площини на площину .

Геометричний зміст модуля похідної: – коефіцієнт розтягу в точці при відображенні площини на площину .

Нехай відображає площину на площину і диференційована в точці .

Розглянемо криву і образ при відображенні позначимо .

Якщо , то , – січна , – січна , – кут нахилу січної до , – кут нахилу січної до .

При січні , прямують до дотичних в точках , до кривих і відповідно, а , до кутів і між відповідними дотичними і осями , відповідно. Тоді , тобто . Звідси – кут повороту дотичної до кривої в точці площини при переході до її образу і к точці .

Приклад

– відображає площину на площину . При цьому , тобто і , тобто при відображенні площина розтягується в раз і повертається на кут – .

Вправи

Знайти коефіцієнт розтягнення і кут повороту при заданих відображеннях в заданих точках

1. ;

2. ;

3. . Знайти , в яких коефіцієнт розтягнення дорівнює 1.

Яка частина комплексної площини розтягується, а яка стискається (вправи 4, 5, 6).

4. ;

5. ;

6. ;

7. . Знайти , в яких кут повороту дорівнює нулю.

Дата добавления: 2015-06-04