Растяжение – сжатие стержня

При растяжении – сжатии стержня, схема нагружения которого дана на рис. 1а., требуется определить внутренние силовые факторы и напряжения во всех его поперечных сечениях, вычислить линейные перемещения этих сечений и построить эпюры усилий, напряжений и перемещений вдоль оси стержня.

Рис. 1. Расчётная схема и эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений при растяжении-сжатии стержня

Исходя из анализа построенных эпюр напряжений с учётом условия прочности стержня, определить минимально допустимое значение площади сечений , если известно, что сила , длина участка стержня , предел текучести материала стержня , допускаемое значение коэффициента запаса прочности .

Решение

1. Отбрасываем опору (заделку) стержня и заменяем её действие реакцией . Значение реакции определяем из условия равновесия стержня, которое заключается в равенстве нулю суммы всех действующих на него внешних осевых сил с учётом силы , т.е.

,

где сила взята со знаком «+», если её направление совпадает с направлением оси стержня , и со знаком «-», если нет.

Решая уравнение, имеем

.

Так как значение получилось со знаком «+», то предварительно произвольно выбранное направление реакции оказалось верным.

2. Используя метод сечений, определяем внутренние силовые факторы во всех поперечных сечениях стержня. Для этого разбиваем стержень по длине вдоль оси на 4 характерных участка (поз. 1, 2, 3 и 4 на рис. 1а) с учётом точек приложения внешних сил и мест изменения размера сечений.

В произвольном месте участка 1 делаем сечение (рис. 1б). Прикладываем в этом сечении продольную силу , направленную от сечения, и записываем условие равновесия отсеченной части стержня

или .

Отрицательное значение свидетельствует о том, что реальное направление усилия не совпадает с её первоначально выбранным направлением, т.е. участок 1 испытывает не растяжение, а сжатие.

Делаем сечение в произвольном месте участка 2 (рис. 1в). Прикладываем в этом сечении продольную силу , направленную от сечения, и записываем условие равновесия отсеченной части стержня

или .

Результат в данном случае тот же, что и на участке 1.

Сделав в произвольном месте участка 3 сечение (рис. 1г) и выполнив аналогичные действия, получаем

или .

Положительное значение свидетельствует о том, что участок 3 испытывает растяжение.

Наконец, в произвольном месте участка 4 делаем сечение (рис. 1д) и, выполнив всё те же действия, имеем

или .

В связи с тем, что сечения на всех участках стержня были выполнены в произвольных местах, можно утверждать, что значения усилий во всех поперечных сечениях стержня на участке 1 равны , на участке 2 равны , на участк3 равны и на участке 4 равны . Тогда эпюра продольных сил (усилий) вдоль оси стержня имеет вид, представленный на рис. 1е.

3. С учётом формулы (1) расчётные значения нормальных напряжений растяжения или сжатия, одинаковые во всех сечениях стержня в пределах рассматриваемого участка, будут, соответственно для участков 1, 2, 3 и 4, равны

,

,

,

,

а эпюра этих напряжений вдоль оси стержня будет иметь вид, приведённый на рис. 1ж.

4. Перемещение сечений на любом участке стержня определяют как сумму перемещения его начального сечения и удлинения (укорочения) стержня на участке от начального сечения до рассматриваемого сечения.

Очевидно, что перемещение начального сечения стержня на участке 4 в месте его заделки под действием приложенных внешних сил равно нулю. Тогда с учетом выражения (4) линейное перемещение сечения, расположенного на расстоянии от места заделки стержня, т.е. в конце 4 участка составит

,

где и - соответственно длина участка 4 и площадь поперечных сечений на этом участке.

Перемещение начального сечения участка 3 равно перемещению конечного сечения участка 4. Отсюда перемещение конечного сечения участка 3 будет равно

,

где и - соответственно длина участка 3 и площадь поперечных сечений на этом участке.

Аналогично перемещение начального сечения участка 2 равно перемещению конечного сечения участка 3. Отсюда перемещение конечного сечения участка 2 составит

,

где и - соответственно длина участка 2 и площадь поперечных сечений на этом участке.

Наконец, перемещение начального сечения участка 1 равно перемещению конечного сечения участка 2. Отсюда перемещение конечного сечения участка 1 составит

,

где и - соответственно длина участка 1и площадь поперечных сечений на этом участке.

Анализ формулы (4) показывает, что на каждом участке стержня перемещение любого сечения относительно начального сечения прямо пропорционально расстоянию между ними. Тогда с учётом полученных значений , , и эпюра перемещений сечений стержня вдоль его оси имеет вид, данный на рис. 1з.

5. Из анализа эпюры напряжений (рис. 1ж) определяем

.

Подставив полученное значение в условие прочности стержня (6), имеем

.

Тогда минимальное допустимое из условия прочности стержня значение площади сечения с учётом заданных численных значений силы , предела текучести материала стержня и коэффициента запаса прочности можно рассчитать как

6. Определив величину , рассчитываем численные значения усилий, напряжений и перемещений всех сечений стержня:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Дата добавления: 2015-06-04