Понятие числового положительного ряда

Ряды для чайников. Примеры решений

Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признак Даламбера.Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности

Всех выживших приветствую на втором курсе! На этом уроке, а точнее, на серии уроков, мы научимся управляться с рядами. Тема не очень сложная, но для ее освоения потребуются знания с первого курса, в частности, необходимо понимать, что такое предел, и уметь находить простейшие пределы. Впрочем, ничего страшного, по ходу объяснений я буду давать соответствующие ссылки на нужные уроки. Некоторым читателям тема математических рядов, приемы решения, признаки, теоремы могут показаться своеобразными, и даже вычурными, нелепыми. В этом случае не нужно сильно «загружаться», принимаем факты такими, какими они есть, и просто учимся решать типовые, распространенные задания.

Рекомендую следующий порядок изучения темы:

1) Ряды для чайников (эта статья) + нахождение суммы ряда.
2) Признак Даламбера. Признаки Коши.
3) Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
4) Ряды повышенной сложности – для тех, кому не хватило обычных =)

В общем виде положительный числовой ряд можно записать так: .
Здесь:
– математический значок суммы;
– общий член ряда (запомните этот простой термин);
– переменная-«счётчик». Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас , затем , потом , и так далее – до бесконечности. Вместо переменной иногда используется переменная или . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля , с двойки либо с любого натурального числа.

В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто:
– и так далее, до бесконечности.

Будем считать, что ВСЕ слагаемые – это неотрицательные ЧИСЛА. То есть, на данном уроке речь пойдет о положительных числовых рядах.

Пример 1

Записать первые три члена ряда

Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.

Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:

Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.

Пример 2

Записать первые три члена ряда

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:

Пример 3

Записать первые три члена ряда

На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:

Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать, то есть не выполнять действия: , , . Почему? Ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.

Иногда встречается обратное задание

Пример 4

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть.
В данном случае:

Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.

А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:

Пример 5

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде

Дата добавления: 2015-07-02