Примитивный элемент поля и циклическая группа

Основное свойство конечных полей – это связь между собой ненулевых элементов поля и возможность их выражения через степень элемента , называемого примитивным, это означает, что любой элемент поля можно представить, как степень примитивного элемента, т.е. и т.д. Множество элементов расширения поля образуют циклическую мультипликативную группу. Это означает, что все элементы расширения находятся в следующем отношении: . Таким образом, умножая элемент на себя можно получить любой элемент расширения поля (мультипликативность), но очевидно, что правило умножения должно быть специфическим, иначе, невозможно обеспечить нужную степень полинома и обеспечить цикличность, т.е. после умножений начнется повторение.

Правило умножения в расширении поля аналогично правилу умножения многочленов с последующим приведением по модулю некоторого специального полинома степени m. Приведение означает деление результата умножения на полином и использованию только остатка от деления, нужно отметить, что при делении сложение производится по правилам для основного поля, т.е. сложение проводится по модулю числа p.

Выше было сказано, что полином должен быть специальным, это означает, что любые операции, выполняемые по модулю должны оставаться обратимыми, иначе система не образует поле. Таким образом, полином должен быть неприводимым в поле GF(p), т.е. его нельзя разложить на множители, используя только многочлены с коэффициентами из поля GF(p). Аналогом неприводимого полинома является простое число. На сегодняшний день не существует систематического способа поиска неприводимых полиномов. Наиболее обширная таблица неприводимых полиномов представлена в книге [1].

Резюме: Расширение поля содержит полиномы степени m-1 и меньше, с коэффициентами из основного поля. Любой элемент расширения поля можно получить, как степень примитивного элемента . Умножение проводится по модулю неприводимого над полем GF(p) полиномом. Описанная выше теория может показаться запутанной, но ниже будет дан пример, который поможет понять изложенные теоретические сведения.

Дата добавления: 2015-07-02