Теорема разложения

Теорема (формула) разложения служит для определения оригинала по известному дробному рациональному изображению. Дробными рациональными называются функции в виде отношения двух полиномов:

(3.20)

где p – комплексная переменная; A(p) – полином числителя степени m; B(p) – полином знаменателя степени n; a_i и b_i – вещественные коэффициенты.

Именно в дробных рациональных функциях выражаются операторные токи и напряжения.

Будем предполагать, что степень полинома знаменателя (3.20) больше степени полинома числителя, т.е. n > m, и что полином знаменателя B(p) имеет только простые корни p_k, т.е. среди корней нет кратных (одинаковых). При этих предположениях, как известно из курса линейной алгебры, F(p) может быть представлена в виде суммы простых дробей:

(3.21)

где D_k – коэффициенты разложения. Тогда для (3.21) можно записать оригинал, используя табличный переход (см. таблицу 3.1, соответствие 3):

(3.22)

Значения коэффициентов D_k можно получить различными способами. Наиболее удобный для данного случая следующий. Умножим обе части (3.21) на множитель (p–p_k) и положим . Тогда в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного, где останется искомый коэффициент

В полученном соотношении возникает неопределенность, т.к. при множитель (p–p_k) и знаменатель B(p) одновременно стремятся к нулю (напомним, что p_k – корень полинома B(p)). Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя, находим

.

Подставляя полученный результат в (3.22), окончательно запишем формулу разложения:

,

(3.23)

где A(p) и B (p) – полиномы числителя и знаменателя исходного изображения F(p); n и p_k – степень и корни полинома знаменателя B(p).

Пример 1. Дано изображение напряжения .

Определить оригинал (реальное напряжение) по формуле разложения.

Определяем корни полинома знаменателя B(p):

Коэффициенты: ,

Реальное напряжение .

Пример 2. Перейти от операторного тока к оригиналу по формуле разложения.

Корни знаменателя: .

Коэффициенты: ; .

Оригинал:

Сравнивая результаты, полученные в примерах 1 и 2, можно сделать вывод, что вещественным корням знаменателя изображения соответствуют апериодические составляющие переходного процесса, а комплексным – колебательные составляющие.

Дата добавления: 2015-07-02