О видимых движениях небесных тел 11 страница

систем, мы получим две точки, которые уравновесятся противоположными скоростями, из которых одна будет произведением скорости первой системы на число ее точек, а вторая – произведением скорости второй системы на число ее точек. В случае равновесия эти произведения должны быть одинаковы.

Масса тела равна сумме его материальных точек. Произведение массы на скорость называют количеством движения, или еще силой тела. Для равновесия двух тел или двух систем материальных точек, сталкивающихся в противоположных направлениях, количества движения, или противоположные силы тела, должны быть равны и, следовательно, их скорости должны быть в обратном отношении к массам.

Очевидно, что две материальные точки могут действовать друг на друга только по соединяющей их прямой. Действие первой из них, направленное на вторую, сообщает ей некоторое количество движения. Можно представить себе, что вторая точка еще раньше, чем на нее подействовала первая, находилась под воздействием этого количества и еще другого количества движения, равного ему, но противоположно направленного. Тогда действие первого тела сведется к уничтожению этого последнего количества движения. Но для этого оно должно затратить равное и противоположное количество движения, которое будет уничтожено. Вообще, мы видим, что при взаимодействии тел противодействие всегда равно и противоположно действию. Мы видим еще, что это равенство вовсе не предполагает наличия в материи какой-то особой силы. Оно вытекает из того, что одно тело не может приобрести движение, не отняв его у другого, подобно тому, как один сосуд наполняется по мере расхода жидкости в другом, соединенном с ним сосуде.

Равенство действия противодействию проявляется во всех явлениях природы. Железо притягивает магнит точно так же, как магнит притягивает железо. То же самое наблюдается в электрическом притяжении и отталкивании и даже в действии сил, присущих живым существам; так как, каков бы ни был двигательный принцип человека и животных, через реакцию материи они всегда испытывают действие силы, равной и противоположной той силе, которую они этой материи сообщают; и в этом смысле они подвержены действию тех же законов, что и неживые тела.

Обратная пропорциональность скоростей массам в случае равновесия служит для определения отношения масс различных тел. У однородных тел массы пропорциональны их объемам, измерению которых учит геометрия. Но все тела, как мы знаем, не имеют одинаковых свойств, и существующее между ними несходство либо в составляющих их молекулах, либо в числе и величине пор, или промежутков, которые разделяют эти молекулы, приводит к очень большим различиям в массах этих тел, заключенных в одинаковых объемах. В таких случаях геометрии оказывается недостаточно, чтобы определить отношения их масс, и становится необходимым прибегнуть к механике.

Если представить себе два шара из разных материалов и менять их диаметры до тех пор, пока движимые с равными и противоположными скоростями они не придут в состояние равновесия, можно быть уверен-

ным, что тогда они будут включать одинаковое число материальных точек и, следовательно, будут иметь одинаковые массы. Таким образом, получаем отношение объемов этих веществ к равным массам. Затем с помощью геометрии получаем отношение масс двух любых объемов одинакового вещества. Но применение этого метода было бы очень трудным при многочисленных сравнениях, которые постоянно требуются для нужд коммерции. К счастью, природа предлагает нам – через свойство тяжести предметов – очень простой способ сравнивать их массы.

В предыдущей главе мы отмечали, что каждая материальная точка в одном и том же пункте на Земле под действием силы тяжести стремится двигаться с одинаковой скоростью. Сумма этих стремлений и представляет вес тела. Таким образом, вес пропорционален массе. Отсюда следует, что если два тела, подвешенные на концах нити, перекинутой через блок, оказываются уравновешенными, когда части нити по обе стороны блока равны по длине, массы этих тел равны. Стремясь под влиянием силы тяжести двигаться с одинаковой скоростью, они действуют одно на другое, как если бы они столкнулись с равными и противоположными скоростями. Два тела можно привести в равновесие еще с помощью весов, у которых плечи коромысла и чашки строго равны между собой, что позволит быть уверенным в равенстве их масс. Таким образом, отношение масс различных тел можно получить с помощью точных и чувствительных весов и большого числа одинаковых гирек, определяя их число, необходимое для уравновешивания этих масс.

Плотность тела зависит от числа его материальных точек, заключен­ных в данном объеме. Она пропорциональна отношению массы к объему. Вещество, не имеющее пор, имело бы самую большую плотность из всех возможных. Сравнивая с ним плотность других тел, можно было бы получить количество заключенной в них материи. Но так как подобного вещества мы не знаем, то можем получить только относительные плотности тел. Эти плотности относятся между собой как веса соответствующих тел, взятых в одинаковом объеме, так как веса пропорциональны массам. Поэтому, взяв за единицу плотность какого-либо вещества при постоянной температуре, например максимум плотности дистиллированной воды, получим плотность тела, равную отношению его веса к весу такого же объема воды, приведенного к этому максимуму. Это отноше­ние называется удельным весом.

Во всем сказанном, как будто, предполагалось, что материя однородна и тела различаются только формой и величиной их пор и составляющих эти тела молекул. Между тем возможно, что есть существенные различия в свойствах самих молекул, и тому немногому, что мы знаем о материи, не противоречит предположение, что небесное пространство заполнено флюидом, лишенным пор, но в то же время таким, что он оказывает лишь неощутимое сопротивление движению планет. Это позволило бы примирить неизменность этих движений, доказанную наблюдаемыми явлениями, с мнением тех, кто не считает возможным существование пустоты. Но это безразлично для механики, изучающей только протяженность тел и их движение. Поэтому можно, не боясь впасть в ошибку,

принять однородность элементов материи при условии, что под одинаковыми массами подразумеваются массы, которые, будучи подвергнуты действию равных, но противоположных сил, приходят в равновесие.

В теории равновесия и движения тел отвлекаются от числа и формы пор, которыми они пронизаны. Можно объяснить различие их относительных плотностей, предположив, что тела образованы из более или менее плотных материальных точек, совершенно свободных в жидкости и газе, соединенных между собой лишенными массы несгибаемыми прямыми в твердых телах и гибкими и растяжимыми – в телах эластических и мягких. Ясно, что при этих предположениях тела казались бы такими, какими мы их воспринимаем.

Условия равновесия системы тел могут всегда быть определены по закону сложения сил, изложенному в первой главе этой книги; ибо можно представить силу, действующую на каждую материальную точку, приложенной к месту встречи направления ее действия с направлениями других сил, которые ее уничтожат или, сложившись с нею, образуют равнодействующую силу, которая в случае равновесия погасится неподвижными точками системы. Рассмотрим, например, две материальные точки, расположенные на концах несгибаемого рычага, и предположим, что на них воздействуют силы, направленные в плоскости, проходящей через этот рычаг. Если принять, что эти силы сосредоточены в точке встречи их направлений, равнодействующая сила для равновесия должна проходить через точку опоры – единственную точку, которая может ее уничтожить. По закону сложения сил, две составляющие должны быть противоположны перпендикулярам, проведенным из точки опоры на их направления.

Если вообразить два тяжелых тела, расположенных на концах несги­баемого рычага, массу которого можно считать бесконечно малой по сравнению с массой этих тел, можно положить, что направления, параллельные силе тяжести, соединяются в бесконечности. В этом случае силы, действующие на каждое из этих двух тел, или, что то же, их веса, для равновесия должны быть противоположны направлениям перпендикуляров, проведенных из точки опоры на направления этих сил. Эти перпендикуляры пропорциональны плечам рычага. Таким образом, веса двух уравновешенных тел обратно пропорциональны плечам рычага, с которыми они связаны.

Поэтому очень небольшой вес с помощью рычага и подобных ему при­способлений может уравновесить очень значительный вес, и таким способом можно поднять огромный груз, приложив лишь небольшое усилие. Но для этого надо, чтобы плечо рычага, к которому прилагается сила, было гораздо длиннее плеча, поднимающего тяжесть, и чтобы подъемная сила перемещалась на большем расстоянии, поднимая груз на малую высоту. При этом потеря во времени возмещается выигрышем в силе, что обычно имеет место в машинах. А часто бывает, что, располагая неограниченным временем, можно использовать лишь ограниченную силу. При других обстоятельствах, например если надо развить большую скорость, можно также использовать рычаг, прилагая силу к его более

короткому плечу. Именно в возможности по мере надобности увеличивай массу или скорость подлежащих перемещению тел и состоит главное преимущество машин.

Рассмотрение рычага породило идею моментов. Моментом силы, за­ставляющей систему вращаться вокруг точки, называют произведение этой силы на расстояние от точки до направления действующей силы. Таким образом, в случае равновесия рычага, к концам которого приложены две силы, моменты этих сил по отношению к точке опоры должны быть равны и противоположны, или, что сводится к тому же, сумма моментов относительно этой точки должна быть равна нулю.

Проекция силы на проходящую через неподвижную точку плоскость, умноженная на расстояние точки от этой проекции, называется моментом силы, вращающей систему вокруг оси, проходящей через неподвижную точку перпендикулярно этой плоскости.

Момент равнодействующей любого числа сил по отношению к точке или какой-либо оси равен сумме таких же моментов составляющих сил.

Так как можно предположить, что параллельные силы соединяются в бесконечности, их можно свести к равнодействующей силе, равной их сумме и параллельной им. Поэтому, разлагая каждую силу, действующую на систему тел, на две – одну, лежащую в плоскости, и другую, перпендикулярную к этой плоскости, – можно все силы, лежащие в этой плоскости, свести к одной равнодействующей, так же как и перпендикулярные ей силы – к другой равнодействующей. Всегда существует плоскость, проходящая через неподвижную точку, и притом такая, что равнодействующая сил, перпендикулярных этой плоскости, равна нулю или проходит через эту точку. В обоих этих случаях момент равнодействующей равен нулю по отношению к осям, начало которых лежит в этой точке, и момент сил системы относительно этих осей сводится к моменту равнодействующей, расположенной в плоскости, о которой идет речь. Ось, от­носительно которой этот момент максимален, перпендикулярна этой плоскости, и момент сил системы относительно оси, проходящей через неподвижную точку и составляющей некоторый угол с осью наибольшего момента, равен наибольшему моменту системы, умноженному на косинус этого угла, так что этот момент равен нулю для всех осей, расположенных в плоскости, перпендикулярной оси наибольшего момента.

Сумма квадратов косинусов углов, образованных осью наибольшего момента с тремя любыми взаимно перпендикулярными осями, проходящими через неподвижную точку, равна единице. Поэтому квадраты трех сумм моментов сил относительно этих осей равны квадрату наибольшего момента.

Для равновесия системы жестко связанных между собой тел, могущей двигаться вокруг неподвижной точки, сумма моментов сил по отношению к любой оси, проходящей через эту точку, должна равняться нулю. Из предыдущего следует, что это имеет место, если эта сумма равна нулю по отношению к трем неподвижным взаимно перпендикулярным осям. Если в системе нет неподвижной точки, то для равновесия,

кроме того, необходимо, чтобы три суммы сил, разложенные параллельно этим осям, каждая в отдельности, были равны нулю.

Рассмотрим систему весомых точек, жестко связанных между собой и отнесенных к трем взаимно перпендикулярным плоскостям, связанным с системой. Разлагая действие силы тяжести параллельно пересечениям этих плоскостей, можно все силы, параллельные одной и той же плоскости, свести к единой равнодействующей, параллельной этой плоскости и равной их сумме. Три полученные равнодействующие, соответствующие трем плоскостям, должны встретиться в одной точке, так как воздействия силы тяжести на разные точки системы параллельны и имеют единую равнодействующую, которую можно получить, складывая сперва две силы, затем их равнодействующую с третьей, равнодействующую трех сил с четвертой и т.д. Положение точки встречи по отношению к системе не зависит от наклона плоскостей к направлению силы тяжести, так как больший или меньший наклон меняет лишь значения трех равнодействующих, не изменяя их положения относительно плоскостей. Если эта точка неподвижна, все действия силы тяжести в системе уничтожатся во всех возможных ее положениях, которые она может принять, вращаясь вокруг этой точки, названной поэтому центром тяжести системы.

Представим себе, что положение этого центра и положения разных точек системы определены координатами, параллельными трем взаимно перпендикулярным осям. Так как действия сил тяжести равны и параллельны и их равнодействующая проходит через центр тяжести системы при любых ее положениях, то если предположить, что эта равнодействующая последовательно параллельна каждой из трех осей, равенство момента равнодействующей сумме моментов составляющих приводит к тому, что любая из координат этого центра, умноженная на полную массу системы, равна сумме произведений массы каждой точки на соответствующую ей координату. Таким образом, определение центра тяжести не зависит от самой тяжести, породившей мысль о нем. Рассмотрение этого центра применительно к системам весомых или невесомых тел, свободных или связанных между собой каким-либо образом, очень полезно в механике.

Обобщая теорему о равновесии точки, рассмотренную в конце первой главы, мы приходим к следующей теореме, которая заключает в наиболее общем виде условия равновесия системы материальных точек, движимых какими-либо силами.

Если изменить положение системы на бесконечно малую величину, так, чтобы не нарушились связи между ее частями, каждая материальная точка подвинется в направлении увлекающей ее силы на величину, равную части этого направления, заключенной между первым положением точки и перпендикуляром, опущенным из ее второго положения на это направление. Установив это, получим:

в состоянии равновесия сумма произведений каждой силы на величину перемещения в ее направлении каждой точки, к которой она приложена, равна нулю. И обратно: если эта сумма равна нулю, каково бы ни было изменение системы, она находится в равновесии.

В этом заключается принцип возможных скоростей, открытый Жаном Бернулли. Но чтобы его использовать, надо произведения, о которых шла речь, относящиеся к точкам, которые при изменении положения системы перемещаются в направлении, противоположном действию приложенных к ним сил, взять с обратным знаком. К тому же надо помнить, что сила есть произведение массы материальной точки на скорость, которую она бы приобрела под действием этой силы, если бы был свободной.

Если положение каждой точки системы определять тремя прямоугольными координатами, сумма произведений каждой силы, действующей на точку, на величину ее перемещения при бесконечно малом перемещении всей системы выражается линейной функцией изменения координат точек системы. Эти изменения находятся между собой в отношениях, вытекающих из связи частей системы. Сводя с помощью этих отношений произвольные изменения к наивозможно меньшему числу, в предыдущей сумме, которая при равновесии системы должна равняться нулю, чтобы равновесие имело место при любом положении системы, нужно отдельно приравнять нулю коэффициент каждого из оставшихся изменений, что даст столько уравнений, сколько имеется таких произвольных изменений. Эти уравнения вместе с уравнениями, которые даются связью всех частей системы, будут включать все условия равновесия системы.

Существует два очень различных состояния равновесия. При одном из них, если немного нарушить равновесие, все тела системы совершают лишь небольшие колебания вокруг их начального положения. Такое равновесие называют устойчивым равновесием. Эта устойчивость абсолютна, если она имеет место при любых колебаниях системы, и относительна, если сохраняется только при колебаниях определенного рода. В другом состоянии равновесия тела, если их отклонили, удаляются все больше и больше от своего первоначального положения. Можно ясно представить себе эти два состояния равновесия, рассматривая эллипс, поставленный вертикально на плоскость. Если эллипс, находящийся в равновесии на своей малой оси, отклонить немного от этого положения, он стремится вернуться в исходное положение, делая колебания, которые вскоре погасятся трением и сопротивлением воздуха. Но если эллипс находится в равновесии на большой оси, то, однажды отклонившись от этого положения, он стремится отклониться все больше и в конце концов опрокидывается на свою малую ось. Таким образом, устойчивость равновесия зависит от свойства малых колебаний, которые делает система вокруг положения равновесия, будучи каким-либо способом из него выведена. Чтобы определить в общем виде, каким образом устойчивые и неустойчивые состояния равновесия следуют одно за другим, рассмотрим замкнутую кривую, поставленную вертикально в положение устойчивого равновесия. Выведенная немного из этого положения, она стремится к нему вернуться. Это стремление изменяется по мере увеличения отклонения, и когда это стремление делается равным нулю, кривая оказывается в новом, но уже неустойчивом состоянии равновесия, потому что прежде чем прийти к этому положению, она стремилась вер-

нуться к своему первоначальному положению. После этого второго положения стремление к первому положению и, следовательно, ко второму делается отрицательным до тех пор, пока оно снова не станет нулевым, и тогда кривая снова оказывается в устойчивом равновесии. Продолжая таким образом, мы видим, что состояния устойчивого и неустойчивого равновесия сменяются поочередно, подобно максимумам и минимумам ординат кривых. То же рассуждение легко распространить на различные состояния равновесия системы тел.

Глава IV

О РАВНОВЕСИИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

Характерным свойством как сжимаемых, так и несжимаемых жидкостей и газов является легкость, с которой каждая из их молекул подчиняется самому легкому давлению, испытываемому ею с одной стороны в большей степени, чем с другой. Поэтому, основываясь на этом свойстве, мы установили законы равновесия жидкостей и газов, считая их состоящими из бесконечного числа молекул, вполне подвижных относительно друг друга.

Из этой подвижности прежде всего следует, что сила, приложенная к молекуле, находящейся на свободной поверхности жидкости, должна быть перпендикулярна к этой поверхности, так как если бы она была к ней наклонена, то, разложив ее на две составляющие: одну – перпендикулярную к поверхности, а другую – параллельную ей, мы бы увидели, что молекула перемещается в направлении этой последней составляющей. Таким образом, сила тяжести перпендикулярна к поверхности стоячей воды, которая вследствие этого горизонтальна. По этой же причине давление, оказываемое каждой молекулой жидкости на поверхность, должно быть ей перпендикулярно.

Каждая молекула внутри жидкости или газа испытывает давление, которое в атмосфере измеряется высотой ртути в барометре и во всякой другой жидкости или газе может быть измерено подобным нее образом. Если представить себе молекулу как бесконечно малую прямоугольную призму, то давление окружающей ее среды будет перпендикулярно ее граням, и, следовательно, она будет стремиться прийти в движение, перпендикулярное каждой грани из-за разности давлений, оказываемых этой средой на две ее противоположные грани. Из-за этих разностей давлений возникают три взаимно перпендикулярные силы, которые следует сложить с другими силами, действующими на молекулу. Нетрудно сделать вывод, что в состоянии равновесия дифференциал давления равен плотности молекулы жидкости, умноженной на сумму произведений каждой силы на элемент ее направления. Эта сумма является точным дифферен­циалом, если жидкость несжимаема и однородна. Этот важный результат впервые получен Клеро и был им опубликован в его прекрасной работе о фигуре Земли.

Когда силы являются результатом притяжения, они всегда определяются функцией расстояния от центров притяжения, и произведение каждой силы на элемент направления определяется точным дифференциалом. Поэтому плотность молекулы жидкости или газа должна быть функцией давления, так как дифференциал давления, разделенный на эту плотность, является точной разностью. Таким образом, все слои жидкости или газа, в которых давление постоянно, имеют одинаковую плотность на всем своем протяжении. Равнодействующая всех сил, приложенных к каждой молекуле на поверхности этих слоев, перпендикулярна к этой поверхности, вдоль которой скользила бы молекула, если бы эта равнодействующая была к ней наклонена. Эти слои были вследствие этого названы уровенными поверхностями.

Плотность молекулы атмосферного воздуха есть функция давления и температуры. Ее вес почти в точности является функцией высоты над поверхностью Земли. Если бы ее температура тоже была функцией этой высоты, уравнение равновесия атмосферы было бы дифференциальным уравнением, связывающим давление и температуру, и равновесие было бы возможно всегда. Но в природе в разных частях атмосферы температура зависит еще от широты, от присутствия Солнца и от тысячи других переменных или постоянных причин, которые должны создавать в этой большой массе воздуха движения, часто очень значительные.

В силу подвижности своих частей весомая жидкость может создавать давления, гораздо большие своего веса. Так, например, узкий столб воды, оканчивающийся широкой горизонтальной поверхностью, давит на основание, на котором эта поверхность находится, так же, как цилиндр воды такой же высоты и с таким же основанием. Чтобы лучше ощутить верность этого парадокса, представим себе неподвижный цилиндрический сосуд с горизонтальным подвижным дном. Предположим, что этот сосуд наполнен водой и его дно поддерживается уравновешивающей силой, равной и противоположной испытываемому им давлению. Ясно, что равновесие продолжало бы существовать, если бы часть воды затвердела и соединилась со стенками сосуда, поскольку равновесие системы тел не нарушится, если предположить, что некоторые из них объединились или соединились с неподвижными точками. Так можно создать бесчисленное множество сосудов различных форм, но с днищами и высотами, равными, соответственно, дну и высоте цилиндрического сосуда, в которых вода будет производить такое же давление на подвижное дно.

В общем случае, если жидкость действует только своим весом, давление, которое она создает на какую-либо площадь, равно весу столба этой жидкости, основание которого равно сжимаемой поверхности, а высота – расстоянию от ее центра тяжести до поверхности уровня жидкости.

Тело, погруженное в жидкость или газ, теряет часть своего веса, равную весу вытесненного им объема жидкости или газа. Так как до погружения тела окружающая жидкость (или газ) уравновешивала вес этого объема жидкости (или газа), который, не нарушая равновесия системы, мы можем себе представить затвердевшим, равнодействующая всех воз-

действий жидкости (или газа) на эту массу должна уравновешивать ее вес и проходить через ее центр тяжести. Но совершенно ясно, что эти воздействия будут теми же, что и воздействия на тело, занимающее его место, и, таким образом, действие жидкости (или газа) уничтожает часть веса этого тела, равную весу вытесненной жидкости (или газа). Поэтому в воздухе тело весит меньше, чем в пустоте. Этой разницей, в большинстве случаев мало заметной, не следует пренебрегать при выполнении точных экспериментов.

С помощью весов, на одном конце коромысла которых подвешено тело, погружаемое в жидкость, можно точно измерить уменьшение его веса, происходящее при этом погружении, и определить его удельный вес или плотность по отношению к плотности жидкости. Удельный вес равен отношению веса тела в пустоте к его уменьшению при полном погружении в жидкость. Именно путем сравнения с максимумом плотности дистиллированной воды и были измерены удельные веса тел.

Чтобы тело, более легкое, чем жидкость, находилось в равновесии на ее поверхности, надо, чтобы его вес был равен весу объема вытесненной им жидкости. Кроме того, надо, чтобы центры тяжести этого объема жидкости и тела находились на одной вертикали, так как равнодействующая силы тяжести, действующей на все молекулы тела, проходит через его центр тяжести, а равнодействующая всех действий жидкости на это тело проходит через центр тяжести вытесненного объема жидкости. Эти равнодействующие, чтобы взаимно уничтожиться, должны располагаться на одной общей вертикали так же, как и центры тяжести. Но для устойчивости равновесия к двум предыдущим условиям необходимо добавить еще другие. Устойчивость можно всегда определить по следующему правилу.

Если провести сечение плавающего тела поверхностью жидкости и через центр тяжести этого сечения вообразить такую горизонтальную ось, чтобы сумма произведений каждого элемента сечения на квадрат его расстояния от этой оси была наименьшей по сравнению со всеми другими горизонтальными осями, проведенными через эту точку, то равновесие устойчиво во всех направлениях, если эта сумма превосходит произведение объема вытесненной жидкости на высоту центра тяжести тела над центром тяжести этого объема. Это правило особенно важно при строительстве судов, которым следует дать достаточную устойчивость, необходимую для сопротивления волнам и ветру. В корабле ось, проведенная из кормы к носу, и есть та ось, по отношению к которой упомянутая сумма минимальна. Поэтому, используя это правило, легко определить его остойчивость.

Две жидкости, заключенные в один сосуд, располагаются таким образом, что более тяжелая занимает низ сосуда, и поверхность, которая их разделяет, горизонтальна.

Когда две жидкости (или два газа) сообщаются с помощью очень широкой изогнутой трубки, поверхность, разделяющая их, при состоянии равновесия почти горизонтальна. Их высоты над этой поверхностью обратны их удельным весам. Поэтому если предположить, что вся атмо-

сфера имеет плотность, равную плотности воздуха при температуре тающего льда и сжата давлением в 76 сантиметров ртутного столба, ее высота оказалась бы равной 7963 м. Но так как плотность слоев атмосферы уменьшается по мере поднятия над уровнем моря, высота атмосферы гораздо больше.

Глава V

О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Рассмотрим сначала действие двух материальных точек разной массы, которые, двигаясь по одной прямой, столкнулись между собой. Можно представить себе, что непосредственно перед соударением их движение разложено на одну общую скорость и две такие взаимно противоположные скорости, что, обладая только ими, эти точки уравновесились бы. Общая скорость двух точек не изменяется от их взаимодействия. Поэтому она сохранится и после столкновения. Для ее определения заметим, что количество движения двух точек в силу этой общей скорости, вместе с суммой количеств движения, вызванных уничтоженными скоростями, представляет сумму количеств движения перед соударением, если только количества движения взять с разными знаками, т.е. с противоположными скоростями. Но, по условию равновесия, сумма количеств движения, вызванных уничтоженными скоростями, равна нулю. Поэтому количество движения, вызванное общей скоростью, равно количеству, которое существовало вначале у обеих точек. Следовательно, эта скорость равна сумме количеств движения, разделенной на сумму масс.

Случай соударения двух материальных точек – чисто идеальный. Но с ним легко сопоставить случай соударения каких-либо двух тел, отметив, что если тела соударяются, двигаясь по прямой, проходящей через их центры тяжести перпендикулярно к поверхности их контакта, они действуют друг на друга так, будто их массы были сосредоточены в этих центрах. Поэтому движение передается между ними так же, как между двумя материальными точками, массы которых, соответственно, равны массам рассматриваемых тел.

В предыдущем примере предполагается, что после соударения оба тела должны иметь общую скорость. Можно понять, что это справедливо для мягких тел, у которых передача движения происходит постепенно, незаметными изменениями, так как очевидно, что с того момента, когда ударенное тело приобретает скорость ударяющего тела, всякое взаимодействие между ними прекращается. Но между двумя абсолютно твердыми телами соударение происходит мгновенно, и не представляется обязательным, чтобы после него их скорости были одинаковы. Их взаимная непроницаемость требует только, чтобы скорость ударяющего тела была меньшей. В остальном она неопределенна. Эта неопределенность доказывает абсурдность гипотезы абсолютной твердости. В самом деле, в природе самые твердые тела, если и не упруги, то во всяком случае

имеют некоторую неуловимую мягкость, которая делает их взаимные воздействия постепенными, хотя их продолжительность неощутима.

Когда тела абсолютно упруги, чтобы получить их скорость после соударения, нужно прибавить или вычесть из общей скорости, которую они получили бы, не будучи упругими, скорость, которую они приобрели бы или утратили в этом случае, так как совершенная упругость удваивает эти эффекты при упругой отдаче после вызванного ударом сжатия. Таким образом, скорость каждого тела после удара получают вычитанием его скорости перед ударом из удвоенной общей скорости.

Дата добавления: 2015-07-02