Системы линейных алгебраических уравнений. Задачи для самостоятельной работы

Задачи для самостоятельной работы

ü Найдите матричное выражение АВ^T+3С^T–2B. Докажите, выполнив умножение матриц, что (AB)C=A(BC). Докажите, выполнив умножение матриц и вычислив определители, что |AB|=|BA|=|A||B|.

1. , , .

2. , B = , .

3. A = , B = , .

4. , , .

5. , B = , .

6. , , .

7. , B = , .

8. A = , B = , .

9. , , .

10. . B = , .

11. , , .

12. , B = , .

13. , , .

14. , B = , .

15. A= , B = , .

16. , , .

17. , , .

18. , B = , .

19. , B = , .

20. , , .

21. , B = , .

22. , , .

23. , B = , .

24. , , .

25. , B = , .

26. , , .

27. , B = , .

28. , , .

29. , B = , .

30. , , .

31. , B = , .

32. , , .

33. , A = , .

34. , , .

35. , B = , .

36. A= , B = , .

37. , , .

38. , B = , .

39. , , .

40. A = , B = , .

· Основные определения

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

Матрицей системы называется матрица:

Столбцом свободных членов называется матрица-столбец:

Столбцом неизвестных называется матрица-столбец:

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде: .

Расширенной матрицей системы называется матрица:

.

Существует три основных метода решения СЛАУ: Крамера, матричный и Гаусса.

· Метод Крамера

Метод Крамера применим, если определитель матрицы системы отличен от 0. Приведём формулы Крамера для СЛАУ третьего порядка

где

· Матричный метод

Матричный метод применим, если определитель матрицы системы отличен от 0.

Квадратная матрица называется обратной матрицей для матрицы A, если

Если матрица СЛАУ имеет обратную , то решение системы определяется по формуле: .

Пусть – квадратная матрица второго порядка, тогда обратная матрица имеет вид:

Пусть – квадратная матрица третьего порядка, тогда обратная матрица имеет вид:

· Метод Гаусса

Метод Гаусса применим для любых СЛАУ и представляет собой последовательность эквивалентных преобразованиях расширенной матрицы системы.

Две расширенные матрицы системы называются эквивалентными, если соответствующие им СЛАУ равносильны.

Метод Гаусса использует три эквивалентных преобразования расширенных матриц, которые называются элементарными:

o перемена местами строк i и j (обозначение: );

o умножение всех элементов строки i на ненулевое число (обозначение: );

o прибавление ко всем элементам строки i соответствующих элементов строки j, умноженных на число (обозначение: );

Суть метода Гаусса заключается в приведении матрицы системы с помощью элементарных преобразований к верхнетреугольной матрице (прямой ход), а затем к диагональной (обратный ход).

Пример 1.3. Решить систему уравнений Ax = b, методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса, если A= , x = , b= .

▼

· Решим систему методом Крамера.

1. решение единственное.

2.

3.

4. ,

· Решим систему матричным методом.

1. решение единственное.

2.

3. .

4. Из формулы получаем:

· Решим систему методом Гаусса.

1. Выпишем расширенную матрицу системы .

2. Прямой ход.

~ ~ ~

~ ~

3.Обратный ход.

~ ~ ~

~ .

4.Ответ:

▲

Пример 1.4. Решить систему уравнений Ax = b методом Гаусса, если A= , x = , b= .

▼

1. Выпишем расширенную матрицу системы .

2. Прямой ход.

~ ~

Последняя строка, полученной после элементарных преобразований расширенной матрицы, соответствует уравнению , которое не имеет решений. Следовательно, система решений не имеет.

▲

Пример 1.5. Решить систему уравнений Ax = b методом Гаусса, если A= , x = , b= .

▼

1. Выпишем расширенную матрицу системы .

2. Прямой ход.

~ ~ .

Нулевая строка может быть удалена из расширенной матрицы системы.

3. Обратный ход.

~ .

Полученная после элементарных преобразований расширенная матрица, соответствует системе:

Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

▲

Дата добавления: 2015-07-02