Розрахункові завдання 2 страница

звідси .

å F_iy = 0; -R_Ay –R_By + F_r2 + 3F₁ = 0;

звідси R_Ay = F_r2 + 3F₁ – R_By = 120 +3×100 – 156 = 264 H.

å F_iz = 0; R_Az + R_Bz – F₂ = 0;

звідси R_Az = F₂ – R_Bz = 300 – 240 = 60 H.

å F_ix = 0; це рівняння перетворюється в тотожність.

Перевіряємо правильність знайдених реакцій. Для цього складаємо додаткові рівняння рівноваги - рівняння суми моментів відносно нових осей координат.

å M_y1 = -F₂×c +R_Az×(a+b+c) = -300×0,1 + 60×0,5 = 0;

å M_z1 = F_r2×c + F₁×(b+c) + 2F₁×(b+c) - R_Ay×(a+b+c) = 120×0,1 +3×100×0,4 - 264×0,5 = 0

Так як рівняння задовільняються, то реакції визначені вірно.

Четверта задача підлягає розв’язку після розв’язку після вивчення теми «Центр ваги». В цій задачі необхідно визначити координати центра ваги (тяжіння) складної плоскої фігури. Навички визначення положення центра тяжіння плоских перерізів необхідні для успішного розв’язку багатьох прикладних завдань в техніці.

Координати центра тяжіння складної фігури обчислюються за формулами:

; ;

-16-

де А_і – площі простих фігур, з яких складається заданий складний переріз;

х_і та у_і – координати центрів тяжіння цих фігур відносно вибраних осей координат.

В наведених формулах площі отворів, вирізів вважаються від’ємними.

До простих відносяться такі плоскі фігури, положення центра тяжіння яких відоме (паралелограм, ромб, прямокутник, трикутник, круг, кільце), або легко визначається (наприклад, круговий сектор).

До простих також відносяться перерізи профілів стандартного прокату, площі та інші геометричні характеристики яких подано в таблицях.

Нижче наведено приклади знаходження центра ваги перерізу складеного з простих геометричних фігур та перерізу складеного з прокатних профілів.

Приклад 4 Визначити положення центра ваги плоскої фігури, розміри

якої показані на рисунку.

Рис.19

Розв’язок.

Задану фігуру представимо як таку, що складається з квадрата 1, трикутника 2 і вирізу у формі півкруга 3.

Розташовуємо систему координат х у так як показано на рис. та знаходимо координати центра тяжіння і площу кожної складової частини перерізу:

квадрата 1 - х₁ = 1,5 см; у₁ = 1,5 см; А₁ = 3×3 = 9 см²;

трикутника 2 - х₂ =3 + 1 = 4 см; у₂ = 1 см; А₂ = (1/2)×3×3 = 4,5 см²;

-17-

півкруга 3 - ; у₃ = 1,5 см; А₃= .

Координати центра тяжіння перерізу

;

.

За визначеними координатами наносимо положення центра тяжіння т.С на рисунок.

Приклад 4а Визначити положення центра тяжіння перерізу, що складається з прокатних профілів – швелера № 10 і двотавра № 12.

Розв’язок

По таблицях для прокатних профілів знаходимо основні розміри, площі, розміри, що визначають положення центрів тяжіння.

Для швелера № 10: h₁ = 100 мм = 10 см; b₁ = 46 мм = 4,6 см; z₀ = 1,44 см;

А₁ = 10,9 см².

Для двотавра № 12: h₂ = 120 мм = 12 см; b₂ = 64 мм = 6,4 см; А₂ = 14,7 см².

Викреслюємо заданий переріз, що складається з швелера і двотавра за їх розмірами в масштабі М1:2. Розміщаємо осі координат як показано на рис.

Визначаємо координати центра ваги складових частин перерізу:

швелера 1 – х₁ = b₁ – z₀ = 4,6 – 1,44 = 3,16 см; у₁ = h₁/2 = 10/2 = 5 см;

двотавр 2 – х₂ = b₁ + h₂/2 = 4,6 + 12/2 = 10,6 см; у₂ = b₂/2 = 6,4/2 = 3,2 см.

Визначаємо координати центра ваги всього перерізу:

-18-

;

.

Наносимо положення центра ваги на рис.

З розділу «Опір матеріалів» передбачено виконання розрахункової роботи, що складається з наступних трьох задач.

Задача 5 До розв’язку задачі слід приступати після засвоєння тем «Основні положення опору матеріалів» та «Розтяг і стиск».

Розтягом (стиском) називають такий вид навантаження бруса при якому в його поперечних перерізах виникає тільки один внутрішній силовий фактор – повздовжня сила N. Повздовжня сила N в довільному перерізі бруса чисельно рівна алгебраїчній сумі зовнішніх сил, що діють на залишенучастину бруса (по одну сторону від перерізу). Зовнішні сили при цьому напрямлені вздовж осі бруса.

При визначенні повздовжньої сили застосовують наступне правило знаків.

Зовнішня сила, напрямлена від перерізу, вважається додатною (тобто дає розтягуючу повздовжню силу), якщо ж зовнішня сила напрямлена доперерізу, то вона від’ємна (дає стискаючу силу) (рис.21).

Рис.21

При розтягу (стиску) бруса в його поперечних перерізах виникають нормальні напруження s = , де А – площа поперечного перерізу. Для нормальних напружень приймають те ж правило знаків, що й для повздовжніх сил.

Умова міцності при розтягу (стиску) , де [s] – допустиме напруження при розтягу (стиску).

Допустимі напруження розтягу-стиску для пластичних матеріалів визначаються за формулою , де s_T – границя текучості матеріалу, [s] – допустимий (мінімальний) коефіцієнт запасу міцності, для пластичних матеріалів [s] = 1,2…2,0. Вибір допустимого коефіцієнта запасу міцності залежить від властивостей, якості та однорідності матеріалу, точності оцінки навантаження, що діє на конструкцію, відповідальності конструкції.

F

N

z

Виходячи з умови міцності, можна розв’язувати три види задач:

-19-

1) перевірка міцності ;

2) проектний розрахунок (визначення розмірів перерізу) ;

3) визначення допустимого навантаження .

Переміщення вільного кінця бруса визначається загальною повздовжньою абсолютною деформацією бруса, яка рівна алгебраїчній сумі абсолютних повздовжніх деформацій ділянок бруса: d = Dℓ =åDℓ_і, де Dℓ_і – абсолютна деформація і-ї ділянки бруса.

Абсолютна деформація ділянки бруса визначається з закону Гука

, де ℓ_{і –} абсолютна довжина ділянки, А_і – площа поперечного перерізу ділянки, Е – модуль повздовжньої пружності.

Повне напруження в похилому

перерізі залежить від кута нахилу

перерізу і визначається за формулою

p_a = s cos a, де s - напруження в

поперечному перерізі.

Повне напруження розкладається на складові – нормальне напруження – перпендикулярне до перерізу s_a і дотичне напруження t_a, яке лежить в площині перерізу

s_a = s cos²a; t_a = .

Як видно з наведених формул, найбільші нормальні напруження виникають в поперечних перерізах бруса (при a = 0), найбільші дотичні напруження - в перерізах, що утворюють з поперечними кут a = 45⁰, t_max = s/2.

Приклад 5 Для заданого сталевого прямого бруса змінного перерізу (Е = = 2×10⁵ МПа, s_Т = 240 МПа) побудувати епюри повздовжніх сил і нормальних напружень, визначити запас міцності для небезпечного перерізу, переміщення вільного кінця бруса, нормальне та дотичне напруження на площинці під кутом a до поперечного перерізу.

Дано: F₁ = 25 кН; F₂ = 35 кН; ℓ₁ = 0,5 м; ℓ₂ = 0,5 м; а = 0,3 м;

А₁ = 5 см²; А₂ = 2А₁; a = 45⁰.

Розв’язок

Розподіляємо брус на ділянки і визначаємо повздовжні сили на длянках

N₁ = F₁ = 25 кН; N₂ = F₁ = 25 кН; N₃ = F₁ – F₂ = 25 – 35 = -10 кН.

Будуємо епюру повздовжніх сил N.

-20-

Знаходимо нормальні напруження в поперечних перерізах ділянок за формулою ;

; ;

.

Будуємо епюру нормальних напружень s в поперечних перерізах бруса.

Як видно з побудованих епюр, на ділянках 1 і 2 брус зазнає деформації розтягу, а на ділянці 3 – стиску.

Небезпечною ділянкою є ділянка 1, в поперечних перерізах якої напруження за величиною найбільші: s_ё = s_max = 50 МПа.

Коефіцієнт запасу міцності небезпечного перерізу

, отже умова міцності виконується.

-21-

Визначаємо деформації кожної з ділянок і переміщення вільного кінця бруса ;

; ;

.

.

Знаходимо нормальні і дотичні на-

пруження в перерізі розташованому

під кутом a = 45⁰ до поперечного:

; .

Задача 6 Шоста задача полягає в розрахунку вала на кручення як з умови міцності, так і з умови жорсткості. До її розв’язку приступають після вивчення теми «Кручення». Крученням називають такий вид навантаження бруса, при якому в його поперечних перерізах виникає тільки один силовий фактор – крутний момент М_К.

Крутний момент в довільному перерізі бруса рівний алгебраїчній сумі зовнішніх обертових або скручуючих моментів, прикладених до залишеної відрізаної частини бруса.

При обчисленні крутного моменту дотримуються певного правила знаків:

Зовнішні моменти при погляді із сторони перерізу напрямлені проти стрілки годинника дають додатній крутний момент, і навпаки, зовнішні моменти напрямлені за стрілкою годинника, дають від’ємний крутний момент.

При розрахунку валів, як правило, задають передавану на вал потужність

Р в кВт, кутову швидкість w в рад/с, або частоту обертання n в об/хв. Зовнішній обертовий (скручуючий) момент, що передається шківом,

-22-

зубчастим колесом і т.д. на вал, обчислюється за формулою Т = Р / w, де Р – потужність, передавана шківом, зубчастим колесом і т.п. на вал виражена у Вт, w - кутова швидкість вала в рад/с. При цьому обертовий (скручуючий) момент Т одержують в Нм. Кутова швидкість w з частотою обертання n зв’язана співвідношенням w = pn / 30.

Для нерухомого бруса або вала, що обертається рівномірно, виконується умова рівноваги: алгебраїчна сума зовнішніх моментів, що діють на вал (брус) рівна нулю: å Т_і = 0.

Умова міцності на кручення , де t_max - максимальні напруження в небезпечному поперечному перерізі, М_К = ½М_Кmax ½- крутний момент в небезпечному перерізі, [t_к] – допустимі напруження кручення,

W_P – полярний момент опору перерізу; для суцільного круглого перерізу

, d – діаметр вала, для кільцевого перерізу ,

- відношення діаметра отвору d₀ до зовнішнього діаметра d, при проектному розрахунку, як правило це відношення задають.

Кут закручування ділянки бруса довжиною ℓ , де J_P – полярний момент інерції перерізу; для суцільного круглого перерізу , для кільцевого перерізу , G – модуль пружності при зсуві, для сталі G = 8×10⁴ МПа.

Умова жорсткості при крученні , де φ₀ – питомий кут закручування (відношення кута закручування ділянки вала φ до її довжини ℓ); [φ₀] – допустиме значення питомого кута закручування задане в рад/м; якщо значення кута задане в град/м, то його необхідно перевести в рад/м за формулою .

При проектному розрахунку з умов міцності і жорсткості визначають необхідне значення діаметра перерізу вала. З двох одержаних значень остаточно приймають більше значення.

Приклад 6 Для сталевого вала, що обертається з частотою n = 382 об/хв., ведені шківи якого передають потужності Р₁ = 8 кВт, Р₂ = 12 кВт; Р₃ = 10 кВт, побудувати епюру крутних моментів і знайти необхідний діаметр вала суцільного і кільцевого перерізів з умов міцності та жорсткості. Для розрахунків прийняти: допустимі дотичні напруження [t] = 35 МПа, допустимий кут закручування [φ₀] = 1,5 град/м, модуль пружності при зсуві

-23-

G = 8×10⁴ МПа, для кільцевого перерізу відношення внутрішнього діаметру отвору до зовнішнього с = d₀/d = 0,7.

Розв’язок

Визначаємо обертові моменти, що передаються веденими шківами за формулою , де , кутова швидкість вала;

;

, , .

Обертовий момент на ведучому (нульовому) шківі визначаємо з умови рівноваги вала å Т_і = 0; Т₁ + Т₂ + Т₃ –Т₀ = 0; звідки Т₀ = Т₁ + Т₂ + Т₃ =

= 200 + 300 + 250 = 750 Нм.

Розділяємо вал на ділянки. Границями ділянок є перерізи в яких прикладені зовнішні обертові моменти і кінці вала. Таких ділянок чотири. Застосовуючи метод перерізів, визначаємо крутні моменти, що діють в поперечних перерізах на кожній з ділянок:

М_К1 = Т₁ = 200 Нм; М_К2 = Т₁ + Т₂ = 200 + 300 = 500 Нм; М_К3 = Т₁ + Т₂ – Т₀ =

= 200 + 300 – 750 = - 250 Нм; М_К4 = Т₁ + Т₂ – Т₀ + Т₃ = 0.

За знайденими значеннями будуємо епюру крутних моментів. Як видно з епюри небезпечною є ділянка 2, в поперечних перерізах якої діє найбільший крутний момент М_К2 = М_Кmax = 500 Нм.

-24-

З умови міцності на кручення визначаємо необхідний діаметр перерізів небезпечної ділянки , де М_К = М_Кmax = 500 Нм, W_P – полярний момент опору перерізу.

Визначаємо необхідний діаметр суцільного круглого перерізу , звідки ,

приймаємо d = 42 мм.

Визначаємо розміри кільцевого перерізу , звідси зовнішній діаметр перерізу

,

приймаємо d = 46 мм, тоді внутрішній діаметр d₀ = cd = 0,7d= 0,7× 46 =

= 32,2 мм; приймаємо d₀ = 32 мм.

Визначаємо розміри перерізів вала з умови жорсткості , де допустимий кут закручування .

Для суцільного круглого перерізу полярний момент інерції , звідки

;

приймаємо d = 40 мм.

Для кільцевого перерізу , звідки

.

Приймаємо d = 44 мм, тоді d₀ = 44×0,7 = 30,8 мм, приймаємо d₀ = 30 мм.

Отже, для забезпечення міцності вала, необхідно, щоб діаметр суцільного круглого перерізу був d = 42 мм, кільцевого - d´d₀ = 46´32 мм, а для забезпечення жорсткості – відповідно d = 40 мм і d´d₀ = 44´30 мм. З одержаних значень вибираємо більші, так як тільки вони задовольняють обидві умови. Отже, остаточно приймаємо d = 42 мм, d´d₀ = 46´32 мм.

Проведемо порівняльну оцінку економічності перерізів. Витрати матеріалу пропорційні площам поперечних перерізів.

Для круглого перерізу .

Для кільцевого перерізу .

-25-

Відношення .

Отже, при застосуванні вала з кільцевим перерізом витрачається в 1,6 рази менше матеріалу, ніж при суцільному круглому перерізі.

Приклад 6а. За даними попередньої задачі визначити діаметри окремих ділянок ступінчастого вала з умови міцності на кручення. Перевірити умову жорсткості ділянок вала. При її невиконанні на деякій ділянці, визначити діаметр ділянки з умови жорсткості.

Визначити кути закручування перерізів вала під шківами відносно переріз під ведучим (нульовим шківом).

Розв’язок

З умови міцності на кручення за формулою визначаємо діаметри ділянок вала:

; приймаємо d₁ = 32 мм;

; приймаємо d₂ = 42 мм;

; приймаємо d₃ = 34 мм.

З конструктивних міркувань приймаємо d₄ = d₁ = 32 мм.

Перевіряємо умову жорсткості ділянок вала:

, де - полярний момент інерції круглого перерізу.

Допустимий питомий кут закручування .

Підставивши в умову жорсткості вираз для J_P, одержимо ,

Обчислюємо ;

;

.

Як видно з розрахунків, для всіх ділянок φ₀ < [φ₀], отже умова жорсткості виконується.

-26-

Визначаємо кути закручування кінців ділянок вала відносно перерізу під ведучим (нульовим) шківом:

;

;

;

.

Задача 7 До розв’язку задачі можна приступити тільки після вивчення теми «Згин», уважного ознайомлення з даними методичними вказівками і прикладами 7 та 7а.

Згин – це такий вид навантаження бруса, при якому в його поперечних перерізах виникають згинаючі моменти. В більшості випадків одночасно із згинаючими моментами виникають і поперечні сили, такий згин називають поперечним; якщо поперечні сили не виникають, то такий згин називають чистим.

Якщо зовнішні навантаження, що діють на брус, лежать в одній площині, що проходить через вісь бруса і одну з головних центральних осей його поперечного перерізу, то такий згин називають прямим. Брус, який зазнає деформації згину називається балкою.

Поперечна сила Q в довільному поперечному перерізі чисельно рівна алгебраїчній сумі всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від перерізу.

Згинаючий момент в поперечному перерізі чисельно рівний алгебраїчній сумі моментів зовнішніх сил, діючих по один бік від перерізу.

Для того щоб одержати однакові значення поперечної сили і згинаючого моменту в поперечному перерізі незалежно від того, яка частина балки розглядається, необхідно дотримуватись наступного правила знаків.

При визначенні поперечної сили зовнішні сили, розташовані зліва від перерізу вважаються додатними, якщо вони напрямлені вгору, зовнішні сили розташовані справа від перерізу вважаються додатніми, якщо вони напрямлені вниз і навпаки (рис.25).

-27-

Згинаючий момент вважається додатнім від тих зовнішніх сил, які згинають балку опуклістю вниз і від’ємним від тих сил, які згинають балку опуклістю вгору (рис.26).

При цьому зовнішні сили, розташовані зліва від перерізу, будуть давати додатній згинаючий момент, якщо їх моменти відносно перерізу напрямлені за годинниковою стрілкою, а зовнішні сили справа від перерізу дають додатній згинаючий момент, якщо їх моменти напрямлені проти годинникової стрілки; якщо навпаки – то згинаючий момент від’ємний.

Для того, щоб обчислити поперечну силу і згинаючий момент в довільному перерізі, необхідно умовно розрізати площиною в цьому місці балку і частину балки (будь-яку), що лежить по одну сторону від розглядуваного перерізу відкинути. Потім, за діючими на залишену частину зовнішніми силами, знайти значення Q і М_зг, застосовуючи наведені вище правила знаків.

При побудові епюр зліва направо відкидається права частина балки, а Q і М_зг знаходяться за силами, діючими на ліву частину. При побудові епюр справа наліво навпаки, відкидається ліва частина, а Q і М_зг визначаються за силами, діючими на праву частину балки.

Для побудови епюр необхідно знати наступні правила.

1. На ділянці, де відсутнє розподілене навантаження, епюра Q – пряма, паралельна базовій лінії, а епюра М_зг – похила пряма.

2. В перерізі, де прикладена зосереджена сила, на епюрі Q cпостерігається стрибок, чисельно рівний прикладеній зовнішній силі, а на епюрі М_зг перелом.

3. В точці прикладання зосередженої пари сил на епюрі моментів відбувається стрибок на величину моменту пари, а епюра Q не зазнає змін.

4. На ділянці дії рівномірно розподіленого навантаження епюра Q виражається похилою прямою, а епюра М_зг – параболою, поверненою опуклістю назустріч дії розподіленого навантаження.

5. Якщо на ділянці дії розподіленого навантаження епюра Q перетинає базову лінію, то в цьому перерізі згинаючий момент приймає екстремальне значення.

6. Якщо на межі дії розподіленого навантаження не прикладено зосереджених сил, то на епюрі Q ділянка, паралельна базовій лінії, переходить в похилу без стрибка, а параболічна і похила частини епюри М_зг спрягаються плавно без перелому.

-28-

7. Згинаючий момент в кінцевих перерізах балки завжди рівний нулю, за винятком випадку, коли в кінцевому перерізі дії зосереджена пара сил. В цьому випадку згинаючий момент в перерізі балки рівний моменту діючої пари сил.

В перерізі, що відповідає жорсткому закріпленню, Q і М_зг чисельно рівні опорній реакції і реактивному моменту.

Наведені вище висновки про характер епюр Q і М_зг дозволяють обійтись без складання рівнянь поперечних сил і згинаючих моментів для кожної з ділянок балки. Досить обчислити ординати епюр епюр для характерних перерізів і з’єднати їх лініями відповідно з викладеними вище правилами. Характерними є перерізи балки, де прикладені зосереджені сили і моменти (в тому числі і опорні реакції), а також перерізи, обмежуючі ділянки з розподіленим навантаженням.

В задачі необхідно побудувати епюри поперечних сил і згинаючих моментів, а також підібрати розміри поперечного перерізу балки, виконаної з прокатного профілю – двотавра або швелера.

Дата добавления: 2015-07-02