Множественная регрессия для предсказания среднего значения

Использование коэффициентов регрессии для предсказания значений

Интерпретация стандартизованных коэффициентов регрессии

Стандартизованные коэффициенты множественной регрессии, которые удобнее всего обозначать как b* изменяются в диапазоне от –1,0 до +1,0. Они сохраняют свою величину при изменении масштаба шкалы: переход от измерения возраста в годах к измерению в днях не изменит соответствующий b*.

Стандартизованные коэффициенты позволяют оценить «вклад» каждой из переменных-факторов в предсказание значений независимой переменной. Если в примере с влиянием интеллекта и стажа работы на доход окажется, что b₁* = 0,25, а b₂* = 0,30, то можно заключить, что сравнительная значимость «веса» интеллекта и стажа в предсказании дохода различаются незначительно.

Если же для одной переменной b₁* = 0,80, тогда как b₂* = 0,40, мы можем сказать, что эффект воздействия второй переменной в два раза меньше эффекта первой.

Чтобы определить ожидаемые значения зависимой переменной для отдельных индивидов, достаточно подставить в уравнение множественной регрессии соответствующие значения переменных-факторов и вычисленных коэффициентов b.

ПРИМЕР. Мы хотим рассчитать прогнозное значение величины дохода для человека, чей коэффициент интеллекта равен 110, а стаж работы — 20 годам. Если b₁, как в вышеприведенном примере, составляет 100, b₂ = 950, а слагаемое а = 50000, то мы получим:

ожидаемый доход = 50000 +100 х 110 + 950 х 20 = 80000 руб.

Множественную регрессию можно использовать и для предсказания средних групповых значений, например среднего дохода мужчин-врачей. Единственное различие в данном случае заключается в использовании средних значений независимых переменных для подстановки в уравнение множественной регрессии.

ПРИМЕР. Изучение факторов, влияющих на статистику изнасилований (Л. Бэрона и М. Строса).

Использованная в планировании этого исследования матрица данных включала в себя в качестве объектов («случаев») различные штаты США. Признаками, по которым описывались штаты, служили около десятка независимых и собственно контрольных переменных, предположительно воздействующих на зависимую переменную, — количество зарегистрированных полицией изнасилований на 100000 населения в год для данного штата (по данным ежегодных статистических отчетов ФБР). Предполагалось, что существующие различия между штатами в уровне изнасилований можно будет объяснить различиями в уровнях независимых переменных.

Нужно отметить, что разброс «случаев» по зависимой переменной был весьма велик — от 71,9 на Аляске до 8,2 в Северной Дакоте (1979). Из десятка переменных, включенных в уравнение множественной регрессии, девять оказались статистически значимы.

Основные результаты регрессионного анализа для семи переменных представлены в следующей таблице.

Таблица [1]

Независимая переменная	Коэффициент b	Коэффициент b*	Р<
Индекс совокупного тиража порнографических журналов (SMCX)	6,99	0,52	0,001
Показатель числа убийств и непредумышленных убийств	1,70	0,55	0,001
Показатель числа публичных оскорблений с угрозой применения физической силы	0,04	0,32	0,001
Индекс положения женщин (SWX)	0,43	0,27	0,014
Число грабежей	-0,03	-0,25	0,052
Процент черного населения	-0,41	-0,38	0,001
Процент живущих ниже федерального уровня бедности	1,11	0,29	0,011

Комментарий к таблице

Из таблицы видно, что индекс совокупного тиража порнографических журналов (интегральный показатель, учитывающий уровни продаж восьми популярных изданий) имеет коэффициент регрессии 6,99. Это означает, что рост индекса на единицу в среднем увеличивает количество изнасилований почти на 7 случаев (в расчете на 100000 населения).

Весьма значительно и влияние числа убийств, что особенно заметно при сравнении стандартизованных коэффициентов (b*), не зависящих от шкалы измерения признака. Фактически количество убийств вносит самый значительный «вклад» в предсказание значений зависимой переменной (b* = 0,55).

Интересно отметить, что одна из независимых переменных в описываемом исследовании — индекс положения женщин, рассчитанный на основании 22-х политических, экономических и социальных индикаторов, — при анализе простых взаимосвязей продемонстрировала практически нулевую корреляцию с количеством изнасилований (r = 0,17), причем результаты анализа диаграмм рассеивания также не дали никаких свидетельств в пользу гипотезы о нелинейной связи.

При интерпретации результатов множественной регрессии стандартизованные коэффициенты, как уже говорилось, используют в качестве показателей значимости, «вклада» соответствующих переменных. Эта трактовка верна лишь в определенных пределах. При нарушении некоторых условий сравнение абсолютных величин стандартизованных коэффициентов может вести к неверным выводам. Дело в том, что коэффициенты регрессии подвержены влиянию случайных ошибок измерения. Использование ненадежных индикаторов «сдвигает» регрессионные коэффициенты к нулю. Иными, словами, более надежные индикаторы дают более высокие оценки коэффициентов.

На следующей лекции мы рассмотрим модель нелинейной регрессии, которая позволяет выявлять функциональную связь отличную от линейной.

[1] Таблица приводится в сокращении по источнику: Baron L, Strauss V. A. Sexual Stratification, Pornography, and Rape

Дата добавления: 2015-07-02