Непрерывность функции в точке

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке х_о и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x₀ и в ее окрестности;

2) функция ƒ(х) имеет предел при х→х_о;

3) предел функции в точке х_о равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Так как то равенство (19.1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть β функцию ƒ(х) вместо аргумента х подставить его предельное значение х_о.

Например, . В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции е^x _.

<< Пример 19.1

Вычислить

Решение:

Отметим, что 1n(1+х)~х при х→0.

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция у=ƒ(х) определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку х_оє(а;b). Для любого хє(а;b) разность х-х_о называется приращением аргумента х в точке х₀ и обозначается ∆х («дельта х»): ∆х=х-x₀. Отсюда х=х₀+∆х.

Разность соответствующих значений функций ƒ(х)-ƒ(х0) называется приращением функции ƒ(х) в точке х₀ и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х₀)): ∆у=ƒ(х)-ƒ(х₀) или ∆у=ƒ(х₀+∆х)-ƒ(х₀) (см. рис. 119).

Очевидно, приращения ∆х и ∆у могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия х→х₀ и х-х₀→0 одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид или

Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непре-рывности функции в точке: функция у=ƒ(х) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.

<<< Пример 19.2

Исследовать на непрерывность функцию у=sinx.

Решение: Функция у=sinx определена при всех х є R Возьмем произвольную точку х и найдем приращение ∆у:

Тогда

так как произведение ограниченной функции и δ.м.ф. есть δ.м.ф.

Согласно определению (19.3), функция у=sinx непрерывна в точке х.

Аналогично доказывается, что функция у=cos х также непрерывна.

Точки разрыва и их классификация.

Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀ является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.

х₀

Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

х₀

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х₀ или не является непрерывной в этой точке.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение. Точка х₀ называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Пример. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х₀.

Пример. Функция f(x) = имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.

.

Пример. f(x) =

Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1 – го рода. Это – устранимая точка разрыва, т.к. если доопределить функцию:

График этой функции:

Пример. f(x) = =

y

0 x

-1

Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой.

Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.

Глава3. Непрерывные функции

Дата добавления: 2015-07-02