Методические указания. К выполнению РГР по разделу «элементы функционального анализа, обобщенные ряды Фурье и тригонометрические ряды Фурье – Эйлера»

к выполнению РГР по разделу «Элементы функционального анализа, обобщенные ряды Фурье и тригонометрические ряды Фурье – Эйле ра», курса «Специальные главы высшей математики».

(4-ый семестр, 2-ой курс, поток АЭ 8-13, 2006 г.)

Задача № 1. Разложить заданную на отрезке функцию

в ряд Фурье - Эйлера; построить график заданной функции на отрезке и продлить ее периодическим образом; определить выражения коэффициентов Фурье – Эйлера и вычислить первые ( восемь) коэффициентов Фурье – Эйлера; построить график частичной суммы полученного ряда Фурье - Эйлера на отрезке ; в точках разрыва указать значения частичной суммы .

Порядок выполнения:

1). Построить декартову систему координат с масштабами по осям; на основном периоде изобразить заданную кусочно – непрерывную функцию .

2). Продлить влево и вправо периодическим образом заданную на основном периоде функцию.

3). Записать ряд Фурье – Эйлера для периодической функции, заданной на основном интервале

4). Записать выражения коэффициентов ряда Фурье – Эйлера для заданной кусочно – непрерывной функции в виде суммы интегралов по участкам

5). Используя значения функции на участках, проинтегрировать выражения коэффициентов Фурье – Эйлера, и подставить соответствующие пределы на участках; при вычислениях использовать значения тригонометрических функций: и табличные интегралы

6). Вычислить первые восемь значений коэффициентов Фурье – Эйлера для и построить график изменения этих коэффициентов с увеличением их номера определить порядок убывания абсолютного значения коэффициентов.

7). Записать выражение частичной суммы ряда Фурье – Эйлера и построить график этой суммы

8). Вычислить значения частичной суммы ряда в точках сопряжения участков; определить значения в точках разрыва.

9). Все вычисления и графические построения могут быть произведены на РЭВМ с использованием каких – либо вычислительных систем, например, системы MATHCAD.

Пример:

Задана на интервале кусочно – непрерывная функция

при .

Выражения для коэффициентов Фурье – Эйлера имеют вид

значения тригонометрических функций для указанных аргументов такие

Выражения коэффициентов Фурье – Эйлера

В системе MATHCAD реализация задания этого примера выглядит так, как приведено в приложении №1.

Задача № 2. Найти решение в виде ряда Фурье – Эйлера для краевой задачи

для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентам и неоднородной правой частью – кусочно – непрерывной на отрезке - полупериоде функцией

представимой неполным рядом Фурье – Эйлера (нечетным образом) на основном периоде ; построить график заданной функции на отрезке и продлить ее периодическим образом; определить выражения коэффициентов Фурье – Эйлера и вычислить первые ( восемь) коэффициентов Фурье – Эйлера; построить график частичной суммы полученного ряда Фурье - Эйлера на отрезке ; в точках разрыва указать значения частичной суммы ; определить значение частичной суммы в середине полупериода .

Порядок выполнения:

1). Построить декартову систему координат с масштабами по осям; на основном полупериоде изобразить заданную кусочно – непрерывную функцию и продлить ее на вторую часть основного периода нечетным образом .

2). Продлить влево и вправо периодическим образом заданную на основном периоде функцию.

3). Записать неполный ряд Фурье – Эйлера (по синусам) для периодической функции, заданной на основном интервале - аппроксимировать кусочно – непрерывную функцию непрерывной

4). Записать выражения коэффициентов ряда Фурье – Эйлера для заданной кусочно – непрерывной функции в виде суммы интегралов по участкам

5). Используя значения функции на участках, проинтегрировать выражения коэффициентов Фурье – Эйлера, и подставить соответствующие пределы на участках; при вычислениях использовать значения тригонометрических функций: и табличные интегралы

6). Вычислить первые восемь значений коэффициентов Фурье – Эйлера для и построить график изменения этих коэффициентов с увеличением их номера определить порядок убывания абсолютного значения коэффициентов.

7). Записать выражение частичной суммы ряда Фурье – Эйлера и построить график этой суммы

8). Вычислить значения частичной суммы ряда в точках сопряжения участков; определить значения в точках разрыва.

9). Проинтегрировать неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

с правой частью – непрерывной функцией

10). Определить постоянные интегрирования по заданным краевым условиям (первого, второго или третьего рода)

11). Записать окончательно выражение искомой функции, ограничиваясь в представлении правой части уравнения вместо ряд его частичной суммой

12). Вычислить значение искомой функции (для частичной суммы) в середине полупериода

13). Все вычисления и графические построения могут быть произведены на РЭВМ с использованием каких – либо вычислительных систем, например, системы MATHCAD.

Пример:

Для краевой задачи

функция задана на полупериоде - интервале кусочно – непрерывно

при .

Выражения для коэффициентов Фурье – Эйлера имеют вид

значения тригонометрических функций для указанных аргументов такие

Выражения коэффициентов Фурье – Эйлера

и представление правой части есть

и соответственно интеграл – искомая функция

Удовлетворяя краевым условиям, получаем постоянные интегрирования

и окончательно искомую функцию

значение которой в середине полупериода равно

В системе MATHCAD реализация задания этого примера выглядит так, как приведено в приложении №2.

Задача № 3. Разложить функцию на отрезке в ообощенный ряд Фурье по системе ортогональных (ортонормированных) на этом отрезке функций

Порядок выполнения:

1). Представить на заданном интервале искомую функцию в виде обобщенного ряда Фурье по системе ортогональных (ортонормированных) на этом интервале функций

с коэффициентами обобщенного ряда Фурье . Вычислить значения коэффициентов обобщенного ряда Фурье для .

2). Записать выражение обощенного ряда Фурье и частичную сумму

3). Построить график заданной функции и частичной суммы на заданном интервале.

4). Установит характер зависимости абсолютной величины коэффициентов Фурье от номера разложения .

Пример:

Задана на интервале функция ; разложить на указанном интервале по ортогональной системе на этом интервале функций .

Убеждаемся в свойстве ортогональности системы функций

Построим ортонормированную фундаментальную систему функций, для чего исходную систему ортогональных функций нормируем так

Вычислим коэффициенты обобщенного ряда Фурье

Запишем обобщенный ряд Фурье – Эйлера для заданной функции

и частичную сумму обобщенного ряда Фурье – Эйлера

Построим график заданной функции и соответствующей ей частичной суммы обобщенного ряда Фурье – Эйлера (для числа слагаемых ) и зависимости коэффициентов обобщенного ряда от номера разложения (см. Приложение № 3, выполненного в системе MATHCAD).

Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский государственный технический университет «МАМИ»

Кафедра «Прикладная и вычислительная математика»

Расчетно –графическая работа по разделу

«Элементы функционального анализа, обобщенные ряды Фурье и тригонометрические ряды Фурье - Эйлера».

Вариант №

Факультет

Группа

Студент (Ф.И.О.)

Лектор (Ф.И.О. должн.)

Преподаватель (Ф.И.О. должн.)

Дата добавления: 2015-07-02