Собственные значения и собственные векторы подобных матриц

Если имеет место равенство , то матрицы и подобные (см. глава 6).

Докажем, что подобные матрицы имеют одинаковый спектр.

Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.

► Пусть матрицы и подобные. Тогда существует такая невырожденная матица , что .

Покажем, что характеристические многочлены подобных матриц и совпадают.

.◄

Следствие 1. Характеристические уравнения подобных матриц совпадают .

Следствие 2. Собственные значения подобных матриц совпадают.

Следствие 3. Для подобных матриц и и .

Замечание. Из равенств и не всегда следует подобие матриц и .

Например, матрицы и имеют одинаковые следы и одинаковые определители, но не являются подобными.

►Действительно, для любой невырожденной матрицы второго порядка выражение , откуда следует, что матрицы и не являются подобными.◄

Теорема. Если и собственная пара матрицы , то - собственная пара матрицы .

► Так как собственная пара матрицы , то . Умножая слева на , имеем ,
с другой стороны, , откуда . Последнее означает, что - собственная пара матрицы .◄

Замечание. Если и матрица диагональная, то собственными значениями матрицы являются диагональные элементы , а собственными векторами - единичные векторы . Тогда в силу доказанной теоремы собственному значению матрицы соответствует собственный вектор ( -ый столбец матрицы ).

● Пример 9. Могут ли матрицы = и быть подобными?

Решение. Если матрицы подобны, то
и .

Система несовместна, откуда следует, что

матрицы и не могут быть подобными. ●

● Пример 10.Для любознательных. Доказать, что матрицы и подобны.

Решение.

Если матрицы и подобны, то существует хотя бы одна невырожденная матрица , что , и собственной паре матрицы соответствует собственная пара матрицы .

и , откуда следует, что собственные значения матриц и совпадают. Характеристическое уравнение матрицы , а, следовательно, и матрицы имеет вид , корни которого и . Нетрудно проверить, что и - собственные векторы матрицы , соответствующие собственным значениям и . Если существует такая матрица , что , то и - собственные векторы матрицы , соответствующие и . Собственные векторы и удовлетворяют системам и .

Пусть . Тогда предыдущие уравнения могут быть записаны в виде , .

Первое матричное уравнение эквивалентно одному скалярному уравнению , второе - уравнению .

Для нахождения , , и имеем систему уравнений

ранг матрицы которой равен двум (минор второго порядка ). Две неизвестные можно задать произвольно. Чтобы получить нетривиальное решение необходимо хотя бы одну неизвестную задать отличной от нуля.

Пусть , тогда , матрица .

Следовательно, существует невырожденная матрица такая, что и матрицы и подобны. ●

Замечание. Из произвольности выбора неизвестных следует, что можно подобрать бесконечное множество матриц , таких, что .

Дата добавления: 2015-07-02