Экономико–математическая модель

Требуется найти план перевозок Х = {x_ij}, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n, минимизирующий общую стоимость всех перевозок

(1)

При ограничениях

	(2)
(3)
(4)

Целевая функция Z представляет собой транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Ограничения (2) означают, что суммарный объем перевозок от i –го поставшика не может превышать имеющегося у него запаса товара. Ограничения (3) означают, что суммарные перевозки товара j –му потребителю должны полностью удовлетворить его потребности в товаре.

Если имеет место равенство

(5),

то модель называется сбалансированной транспортной моделью. В ней ограничения (2)…(4) имеют вид равенств. Несбалансированную ТЗ называют также открытой ТЗ, а сбалансированную – закрытой ТЗ. Доказана теорема: закрытая ТЗ всегда имеет решение.

Наглядной формой представления ТЗ является транспортная матрица

Пример 1. С трех складов необходимо вывести одноименный товар в три магазина. На Складе_1 имеется 12000 ед.тов., на Складе_2 – 8000 ед.тов., на Складе_3 – 6000 ед.тов. Магазин_1 может принять 10000 ед.тов, Магазин_2 – 9000 ед.тов., Магазин_3 – 7000 ед.тов. Определить оптимальный план грузоперевозок. Расстояния перевозки приведены в таблице

	Магазин_1	Магазин_2	Магазин_3
Склад_1
Склад_2
Склад_3

Проверим условие сбалансированности. Сумма товаров, имеющихся на складах, 12000+8000+6000=26000; сумма товаров, которые могут принять магазины: 10000+9000+7000=26000, т.е. задача сбалансирована. Целевая функция:

Поскольку стоимость перевозки одинакова, она не влияет на результат решения, и ее можно не учитывать. Система ограничений

Заполнение листа Excel

Меню Сервис → команда Поиск решения. Появится окно «Поиск решения», которое нужно заполнить следующим образом.

Для ввода ограничений следует щелкнуть по кнопке Добавить. Появится диалоговое окно «Добавление ограничения»

В поле «Ссылка на ячейку» ввести диапазон B3:D5 (искомые переменные), выделяя его мышью; в ниспадающем меню выбрать знак >=, в поле «Ограничения» набрать 0 (изменяемые ячейки должны иметь положительные значения). Щелкнуть по кнопке Добавить, в поле «Ссылка на ячейку» ввести диапазон В6:D6, в ниспадающем меню выбрать знак =, в поле «Ограничение» ввести диапазон В7:D7.

Щелкнуть по кнопке Добавить, в поле «Ссылка на ячейку» ввести диапазон E3:E5, в ниспадающем меню выбрать знак =, в поле «Ограничение» ввести F3:F5, кн. OK. Диалоговое окно заполнено.

Нажав на кнопку Параметры, установить флажок .

При этом возвращаемся в окно «Поиск решения» и щелкаем на кнопке Выполнить. Появится окно «Результаты поиска решения». В верхней части окна должна появиться надпись:

«Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены».

В ячейках В3:D5 появляются результаты расчетов. Ответ. Со Склада1, на котором имеется 12000 ед.тов., 10000 ед.тов. нужно доставить в Магазин1 и 2000 ед.тов. – в Магазин2. Со Склада2 весь запас в 8000 ед.тов. следует отправить в Магазин2. Со Склада3 1000 ед.тов. нужно отправить в Магазин2 и 5000 ед.тов. – в Магазин3.

В результате получим минимальный общий путь перевозок Z = 280000.

Пример 2. На товарных станциях С1 и С2 имеется по 30 комплектов мебели. Известно, что перевозка одного комплекта со станции С1 в магазины М1, М2, М3 стоит 1 ден.ед, 3 ден.ед, 5 ден.ед, а стоимость перевозки со станции С1 в те же магазины – 2 ден.ед, 5 ден.ед, 4 ден.ед необходимо доставить в каждый магазин по 20 комплектов мебели. Составить план перевозок так, чтобы затраты на транспортировку мебели были наименьшими.

Проверим условие сбалансированности. На обеих станциях имеется 60 комплектов; три магазина суммарно могут принять 60 комплектов.

Целевая функция:

Система ограничений

Заполнение листа Excel

Решение

Ответ. Со Станции1 следует отправить 20 комплектов в Магазин1 и 10 – в Магазин2. Со Станции2 следует отправить 10 комплектов в Магазин2 и 20 – в Магазин3, что обеспечит минимальные затраты на перевозку 140 ден.ед.

Дата добавления: 2015-06-27