КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Каноническое уравнение эллипса
Определение 4. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (И, П, стр. 144).
Рисунок 1- Построение эллипса Рисунок 2 – Каноническая система координат
Практическое правило построения эллипса представлено на рисунке 1 (http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6312/КОНИЧЕСКИЕ) практическое правило построения данного геометрического множества. Нетрудно понять, что если фокусы совпадают, то эллипс превращается в окружность.
Определение 5. Середина отрезка , соединяющего фокусы, называется центром эллипса. (А, стр. 72). Определение 6. Вся прямая , называется его фокальной или первой осью. (А, стр. 72).
Определение 7. Прямая, проходящая через центр эллипса перпендикулярно к фокальной оси, называется второй осью эллипса. (А, стр. 72). Определение 8. Расстояние между фокусами и называется фокусным расстоянием (А, стр. 72).
Для вывода канонического уравнения эллипса декартову прямоугольную систему координат Оху выбирают следующим образом: начало координат О размещают в центре эллипса, т.е. на середине отрезка ,в качестве оси Ох выбирают фокальнуюось (рисунок 2). Если фокусы и совпадают, то за ось Ох можно взять любую ось, проходящую через точку О. Система координат такого вида называется канонической системой (для данного эллипса) (А, стр. 73).
Пусть длина отрезка равна , (случай , соответствует совпадению фокусов), тогда, в выбранной системе координат, координаты точек и - и , соответственно (рисунок 3). Фокус в этом случае условно называют левым фокусом, а фокус - правым фокусом (А, стр. 73)
Рисунок 3 – Координаты фокусов Рисунок 4 – Отрезки расстояний
Пустьсумма расстояний от точек эллипса (исследуемого геометрического множества точек) до фокусов и равно , очевидно, что (это следует из свойств треугольников), случай приводит к ситуации, когда точка располагается на отрезке и эллипс вырождается в отрезок. Следовательно, . Пусть - расстояние от точек эллипса до фокуса , - расстояние до фокуса (рисунок 4). Пусть - произвольная точка плоскости. Точка M принадлежит данному эллипсу (данному геометрическому месту точек L) тогда и только тогда, когда
. (4) Так как
, (5)
; (6)
то, подставляя (5) и (6) в уравнение (4), получаем, уравнение (7):
. (7)
Перенося втрое слагаемое левой части уравнения в правую часть, получаем уравнение (8):
, (8) возводя в квадрат обе части уравнения (8), и проводя несложные преобразования, получаем уравнение (9)
,
,
,
,
,
. (9)
Снова возводя в квадрат обе части уравнения (9), и проводя необходимые преобразования, получаем уравнением (10):
,
,
,
,
,
. (10)
Как мы уже отметили ранее, , поэтому и, следовательно, можно ввести обозначение (11): , (11) уравнение (10) можно представить в виде (12):
. (12)
Разделив обе части уравнения (12) на , получаем уравнение (13)
. (13)
Так как уравнение (13) является следствием уравнения (7), то координаты любой точки эллипса будут удовлетворять уравнению (13). Однако в процессе вывода мы использовали метод последовательного возведения в квадрат, следовательно, могли появиться «лишние корни» (И., П., стр. 145; А, стр. 73-74). Поэтому необходимо показать, что любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (13) принадлежит рассматриваемому эллипсу, т.е. выполняется равенство (4). Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению (13). Тогда
; .
Опираясь на формулы (5) и (6), получаем, что в этом случае:
.
Из уравнения (13) следует, что , следовательно, . По постановке задачи: , следовательно, . Это означает, что
, , (14)
и .
Определение 9. Уравнение (13) называется каноническим уравнением эллипса (И.П., стр. 14, А, стр. 73).
Определение 10. Число называется эксцентриситетом эллипса (А, стр. 72). В литературе встречаются следующие обозначения для эксцентриситета: (А, стр. 72) или (Г, стр. 47). Выберем второй вариант обозначения: . (15)
Как уже было отмечено выше
. (16)
Эксцентриситет равен нулю только в том случае, когда фокусы совпадают. Опираясь на полученные выше результаты, нетрудно получить (А, стр. 74), что
; (17)
(18)
Используя уравнение (13) легко увидеть, что эллипс обладает следующими свойствами (А, стр. 74 – 75): 1) обе оси эллипса являются его осями симметрии; 2) центр эллипса является его центром симметрии; 3) весь эллипс лежит в прямоугольнике, ограниченном прямыми , который называется основным прямоугольником для данного эллипса (рисунок 5, http://topreferat.znate.ru/docs/index-21429.html); 4) пересекается с осями координат в точках , которые называются вершинами эллипса (рисунок 5).
Рисунок 5 – Основной прямоугольник
Определение 11. Отрезки и , соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длины и , называются большой и малой осями эллипса (П, стр. 77). Величины a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса соответственно (И, П., стр. 146).
Название определяется тем, что . Нетрудно заметить, что при , уравнение (13) задает окружность с центром в начале координат радиуса .
Дата добавления: 2015-06-28; Просмотров: 3699; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |