Электрическое взаимодействие двух сфер.

Рассмотрим взаимодействие двух шариков, один из которых имеет заряд , а второй заземлен.

Вберем систему координат, как показано на рис.27. Обозначим расстояние между центрами шаров , а их радиусы примем равными 1. Идея расчета базируется на методе изображений. Поле заряженного уединенного металлического шарика эквивалентно полю точечного заряда. Поэтому поместим в центр этого шарика точечный заряд, величину которого определим позднее. Далее построим цепочку зарядов-изображений, последовательно отражая заряд в шариках[3], величины и положения этих зарядов следует рассчитывать по формулам построения изображений в сфере:

(32)

Первая строчка описывает заряды в левом, заземленном шарике, вторая в правом, заряженном. Теоретически число этих изображений должно быть равным бесконечности. Однако величины зарядов убывают приблизительно в геометрической пропорции, поэтому при расчетах можно ограничиться конечным числом изображений, которой нам удобно обозначить .

Вспомните, при построении изображения в незаземленной сфере появляется два заряда-изображения, один из которых находится в центре сферы. Именно поэтому мы заранее не можем сказать, чему равен этот центральный заряд. Физическая причина этой проблемы - перераспределения заряда шарика. Величины остальных зарядов пропорциональны величине центрального заряда (обозначим ее ). Для определения этой величины воспользуемся постоянством полного заряда шарика (который равен сумме зарядов-изображений в этом шарике, то есть нечетным их отображениям):

, (33)

из этого соотношения находим искомый центральный заряд и затем пересчитываем все остальные заряды

(34)

Таким образом, мы окончили построение цепочки зарядов. Обратите внимание на необходимость перенормировки величин зарядов - она у нас встретится и в дальнейшем.

Процедура рисования силовых линий по известным заряда нам давно знакома, поэтому можете посмотреть на результаты при различных значениях расстояния между центрами шаров (рис.28). Расчет проведен при . При сближении шаров заряды и электрическое поле все больше концентрируются в области между шарами.

Уберем заземление шара, при этом будем считать, что он электрически нейтрален. В этом случае расчет поля усложняется - появляются изображения и в центре нейтрального шара. Поэтому нам необходимо построить две цепочки зарядов - каждая из которых начинается в центре своего шара. Цепочка, начинающаяся из центра правого шарика, описывается формулами (см. рис.29)

(35)

Вторая цепочка, начинающаяся с левого шарика, строится аналогично (рис. 30):

(35)

Как и в предыдущем случае, нам неизвестны величины центральных зарядов . Поэтому необходимо провести перенормировку зарядов, используя условия постоянства зарядов шариков:

(36)

Неизвестные величины можно найти, решив данную систему уравнений, после чего следует пересчитать все заряды

. (37)

Результаты расчета поля при (всего 202 заряда) приведены на рис. 31.

Сравните эти картинки с предыдущими и найдите не менее 10 различий.

Задание для самостоятельной работы.

1. Вычислите силу действующую между шариками, во всех рассмотренных случаях.

[1] Прежде всего, честно признаемся, что данное предположение фактически является попыткой угадать решение, правда затем эта догадка будет строго доказана.

[2] Полная аналогия с оптическими изображениями в параллельных зеркалах.

[3] Аналогично построению цепочки изображений в двух параллельных плоскостях.

Дата добавления: 2015-06-28