Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теоремы о сходимости рядов


Числовые ряды

Пусть задана бесконечная последовательность чисел

Выражение

называется числовым рядом (или просто рядом). При этом числа называются членами ряда.

Сумма конечного числа первых членов ряда называется й частичной суммой ряда:

Рассмотрим частичные суммы:

 

 

 

 

 

Если существует конечный предел последовательности т.е. то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.

Если не существует например, при то говорят, что ряд расходится и суммы не имеет.

Пример.

Это ряд, составленный из членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем

Сумма первых членов геометрической прогрессии равна при

 

1) Если то при и, следовательно,

 

Значит в этом случае ряд сходится и его сумма

2) Если то при и тогда не существует. Таким образом, в этом случае ряд расходится.

3) Если то ряд имеет вид:

т.е. ряд расходится.

4) Если то ряд имеет вид:

В этом случае при четном, при нечетном.

Следовательно, предела не имеет, ряд расходится.

Теорема 1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов.

Доказательство. Пусть сумма первых членов ряда сумма отброшенных членов при достаточно большом все отброшенные члены содержатся в сумме сумма членов ряда, входящих в сумму и не входящих в Тогда имеем: где постоянное число, не зависящее от Из последнего соотношения следует, что если существует то существует и если существует то существует и а это и доказывает справедливость теоремы.

Теорема 2. Если ряд

сходится и его сумма равна то ряд где какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма равна

Доказательство. Обозначим ю частичную сумму ряда через а ряда через Тогда

 

Отсюда ясно, что предел й частичной суммы ряда существует, так как

Итак, ряд сходится и его сумма равна

Теорема 3. Если ряды

и

сходятся и их суммы, соответственно, равны и то ряды

 

и

также сходятся и их суммы, соответственно, равны и

Доказательство. Докажем сходимость ряда Обозначая его ю частичную сумму через а е частичные суммы рядов и соответственно, через и получим

 

 

Переходя к пределу при получим:

 

Таким образом, ряд сходится и его сумма равна

Аналогично доказывается, что ряд также сходится и его сумма равна Про ряды и говорят, что они получены в результате почленного сложения или, соответственно, почленного вычитания рядов и

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Несобственные интегралы от разрывных функций | Теоремы о сравнении рядов с положительными членами

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 719; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.001 сек.