Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Рассмотренные только что знакочередующиеся ряды являются, очевидно, частным случаем знакопеременных рядов. Здесь будем полагать, что могут быть как положительными, так и отрицательными.

Следующая теорема дает важный достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Теорема 1. Если знакопеременный ряд

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Доказательство. Пусть и суммы первых членов рядов и Пусть далее и положительные возрастающие величины, меньшие Следовательно, они имеют пределы следует, что и имеет предел и этот предел равен в два раза меньше суммы ряда т.е. равна Обозначим через и

Следовательно,

то он расходится при всяком для которого ряд расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке удовлетворяющей условию т.к. ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если есть точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости. Если и вся полупрямая влево от точки

где остаточный член.

Если функция имеет производные всех порядков в окрестности точки то в формуле Тейлора число можно брать сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрестности остаточный член при Тогда, переходя в формуле к пределу при получим справа бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:

Отметим, что для каждой из элементарных функций существует такое и такое что в интервале она разлагается в ряд Тейлора или в ряд Маклорена.

Пример 1.

Так как остаточный член стремится к нулю при любом то данный ряд сходится и имеет в качестве суммы функцию при любом

Пример 2.

При всех значениях ряд сходится и представляет функцию

Пример 3.

Так как для любого то для всех значений ряд сходится и представляет функцию

Пример 4.

Ряд сходится и представляет функцию для

Пример 5.

Ряд сходится и представляет функцию для

Дата добавления: 2014-01-03