Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость


Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Рассмотренные только что знакочередующиеся ряды являются, очевидно, частным случаем знакопеременных рядов. Здесь будем полагать, что могут быть как положительными, так и отрицательными.

Следующая теорема дает важный достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Теорема 1. Если знакопеременный ряд

 

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов

 

сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Доказательство. Пусть и суммы первых членов рядов и Пусть далее и положительные возрастающие величины, меньшие Следовательно, они имеют пределы следует, что и имеет предел и этот предел равен в два раза меньше суммы ряда т.е. равна Обозначим через и

 

 

 

Следовательно,

то он расходится при всяком для которого ряд расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке удовлетворяющей условию т.к. ряд расходится. Следовательно, ряд расходится и в точке Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если есть точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости. Если и вся полупрямая влево от точки

где остаточный член.

Если функция имеет производные всех порядков в окрестности точки то в формуле Тейлора число можно брать сколь угодно большим. Допустим, что в рассматриваемой окрестности остаточный член при Тогда, переходя в формуле к пределу при получим справа бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:

 

Отметим, что для каждой из элементарных функций существует такое и такое что в интервале она разлагается в ряд Тейлора или в ряд Маклорена.

Пример 1.

Так как остаточный член стремится к нулю при любом то данный ряд сходится и имеет в качестве суммы функцию при любом

Пример 2.

При всех значениях ряд сходится и представляет функцию

Пример 3.

Так как для любого то для всех значений ряд сходится и представляет функцию

Пример 4.

Ряд сходится и представляет функцию для

Пример 5.

Ряд сходится и представляет функцию для

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница | Функции нескольких переменных

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 206; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.