Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Представление графов в компьютере

П.7. Графы. Орграфы.

Лекция 7.

 

 

 

Известны различные способы представления графов в памяти компьютера, которые различаются объемом занимаемой памяти и скорости выполнения операций над графами. Преставление выбирается, исходя из потребностей конкретной задачи. В подавляющем большинстве случаев граф задается матрицей. Чаще всего графы представляют либо матрицей смежности, либо матрицей инциденций.

Определение 7.12. Матрица смежности вершин орграфа G, содержащего n вершин- это квадратная матрица A= [ aij ] n -го порядка, у которой строки и столбцы матрицы соответствуют вершинам орграфа. Элементы aij матрицы A равны числу дуг, направленных из i -й вершины в j -ю. Если орграф состоит из однократных дуг, то элементы матрицы равны либо 0, либо 1.

Матрицей смежности вершин неориентированного графа G, содержащего n вершин, называют квадратную матрицу A= [ aij ] n -го порядка, у которой строки и столбцы матрицы соответствуют вершинам неориентированного графа. Элементы aij матрицы A равны числу ребер, направленных из i -й вершины в j -ю. В случае неориентированного графа G ему вместе с ребром (vi, vj) принадлежит и ребро (vj, vi), поэтому матрица смежности вершин A =[ aij ] будет симметрична относительно главной диагонали.

 

Определение 7.13. Матрица смежности дуг орграфа - это квадратная матрица B= [ bij ] m -го порядка, у которой строки и столбцы матрицы соответствуют дугам орграфа. Элементы bij матрицы B равны 1, если дуга ei непосредственно предшествует дуге ej и 0 в остальных случаях.

Матрицей смежности ребер неориентированного графа является матрица B =[ bij ] m -го порядка, у которой строки и столбцы матрицы соответствуют ребрам графа. Элементы bij матрицы B равны 1, если ребра ei и ej имеют общую вершину, и 0 в остальных случаях.

 

Определение 7.14. Матрицей инциденций (инцидентности) неориентирован-ного помеченного графа с вершинами и ребрами называется матрица размерности , строки которой соответствуют вершинам, а столбцы – ребрам. Элементы матрицы инциденций неориентированного графа равны 1, если вершина инцидентна ребру , и 0 в противном случае.

Матрицей инциденций (инцидентности) орграфа с вершинами и дугами называется матрица размерности n ´ m, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы -дугам орграфа. Элементы cij равны 1, если дуга ej исходит из i -й вершины; -1, если дуга ej заходит в i -ю вершину; 0, если дуга не инцидентна i -й вершине:

Если каждому ребру графа приписано некоторое положительное число, то такое число называется весом, а сам граф называется взвешенным графом. Простой взвешенный граф (сеть) может быть представлен также своей матрицейвесов , где wij – вес ребра, соединяющего вершины vi и vj. Весы несуществующих ребер (дуг) полагают равными нулю или бесконечности в зависимости от приложений.

Пример 7.7. 1) Для заданного неориентированного графа построить матрицы смежностей и матрицы инциденций.

2) Для заданного ориентированного графа построить матрицы смежностей и матрицы инциденций.

 

Решение. 1) Строим матрицу смежности вершин, которая будет размерности 4´4. Строим матрицу смежности ребер, которая будет размерности 5´5.

 

, .

Строим матрицу инциденций, которая будет размерности 4´5.

 

.

 

2) Строим матрицу смежности вершин, которая будет размерности 4´4. Строим матрицу смежности ребер, которая будет размерности 5´5.

,

 

Строим матрицу инциденций, которая будет размерности 4´5.

.

,

 

 

7.6. Выявление маршрутов с заданным количеством ребер (дуг).

 

С помощью матрицы смежности вершин можно найти все маршруты, содержащие заданное количество ребер (дуг). Справедлива следующая теорема, которую примем без доказательства.

 

Теорема 7.3. Для определения маршрутов, состоящих из k ребер (дуг), необходимо возвести в k -ю степень матрицу смежности вершин P. Тогда элемент матрицы даст количество маршрутов длины k (состоящих из k ребер) из вершины в вершину .

 

Пример 7.8. Для неориентированного графа, изображенного на рисунке, найти все маршруты длины 2.

 

Решение. Составим матрицу смежности вершин P и возведем ее в квадрат. Результат возведения:

.

Рассмотрим первую строку. Например, элемент . Это значит, что существует три маршрута из v 1 в v 1 длиной в два ребра. Действительно, это маршруты . Из v 1 в v 2 существует два маршрута: .

Если использовать числовую матрицу смежности вершин, то для нахождения самих маршрутов необходимо работать с графом. Если воспользоваться модифициро-ванной матрицей смежности, в ячейки которой записаны названия ребер, то можно получить не только количество маршрутов, но и сами маршруты.

Действительно, для данного примера имеем

 

 

,

Аналогично обстоит дело с орграфом, хотя у него матрица смежности вершин несимметрическая.

Пример 7.9. Для орграфа, изображенного на рисунке, найти все маршруты с тремя дугами.

 

Решение. Матрица смежности P и результаты ее возведения в квадрат и куб имеют следующий вид:

,

 

.

Рассмотрим, например, элемент после возведения матрицы смежности вершин в квадрат. Это значит, из вершины v 2 в вершину v 2 есть два маршрута длиной две дуги. Это маршруты и . После возведения матрицы в куб сохраняется та же картина. Например, . Это значит, что есть два маршрута длиной три дуги из вершины v 1 в вершину v 2. Это маршруты и .,

Для получения цепей (маршрутов, в которых каждое ребро встречается один раз) нужно в модифицированной матрице P 3 вычеркнуть те слагаемые, в которых какой-либо сомножитель встречается более одного раза.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Контроль и приемка свай и ростверков | Упорядочивание вершин и дуг орграфа
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1168; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.019 сек.