Тема 2.1 Численные методы решения тепловой задачи. Метод конечных разностей

Многие математические модели описываются дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений с краевыми условиями первого, второго и третьего рода. Точное решение краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Поэтому общий способ их решения, в том числе и в САПР, заключается в использовании различных приближенных моделей. В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели на основе интегральных уравнений и модели на основе метода сеток.

Основная идея построения модели на основе интегральных уравнений заключается в переходе от исходного дифференциального уравнения в частных производных к эквивалентному интегральному уравнению, подлежащему дальнейшим преобразованиям.

Сущность метода сеток состоит в аппроксимации искомой непрерывной функции совокупностью приближенных значений, рассчитанных в некоторых точках области – узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка, в свою очередь, является дискретной моделью области определения искомой функции.

Применение метода сеток позволяет свести дифференциальную краевую задачу к системе нелинейных, в общем случае, алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функций.

Рассмотрим представленную на рис 1.а. задачу распространения тепла в двумерной области W.

Рисунок 1.а.

Если потоки тепла в направлении осей x и y на единицу длины за единицу времени обозначены через q_{x и} q_y соответственно, то разность D между исходящим и входящим потоками для элемента размера dx и dy задается выражением:

(1)

Для сохранения энергии эта величина должна быть равна сумме тепла, генерируемого в элементе за единицу времени dt, например, Qdxdy, где Q может изменяться в зависимости от координат и времени, и тепла, освобождаемого за единицу времени, а именно – , где с – удельная теплоемкость, р – плотность и j(x, y, t) – распределение температуры. Ясно, что это требование равенства ведет к дифференциальному соотношению:

(2)

Соотношение выполняется во всей области W, где решается задача.

Вводя теперь физический закон, определяющий поток тепла в изотропной среде, можно записать для компоненты потока в произвольном направлении n:

(3)

где к – коэффициент теплопроводности, характеризующий свойства среды. В частности, для изотропного материала по направлениям x и y выполняются равенства

, (4)

Соотношение (2) и (4) определяют систему дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемую задачу; теперь эти уравнения нужно решить относительно трех зависимых переменных q_x, q_y и j.

Для такого решения необходимо задать начальные условия, например, в момент времени t=t₀ (например, в этот момент времени всюду в W может быть задано распределение температуры), и граничные условия на границе Г области решения задачи, в качестве которых, как правило, могут быть использованы два различных типа условий.

В случае первого условия, скажем применяемого на участке границы Г_j, задаются значения температуры (x, y, t), т.е

на (5)

Граничные условия этого вида часто называют граничными условиями Дирихле.

В случае второго условия, применяемого на остальной части границы Г_q, задаются значения потока тепла (x, y, t) в направлении нормали к границе n тогда можно записать

на , (6а)

Или

на , (6б)

Этот тип краевого условия часто называется граничными условиями Неймана.

Теперь задача полностью определена уравнениями(2), (4), (5) и (6), и решением этой системы уравнений в принципе можно получить числа, представляющие распределения для j, q_x и q_y в любой момент времени.

Данную задачу можно записать в иной форме, исключив при помощи уравнений(4) величины q_x и q_y из уравнения (2) и получив в результате дифференциальное уравнение более высокого порядка с одной независимой переменной, а именно уравнение

_,

для которого опять требуется задать начальные и краевые условия.

Выше была рассмотрена задача, определенная в пространственно- временной области и требующая задания начальных условий. Независимыми переменными здесь были x, y и t. Если предполагаются стационарные условия (т.е., задача не зависит от времени и, следовательно,), то уравнения (2) и (7) упрощаются. В последнем случае имеет место уравнение

, (8)

для решения, которого требуется только задать краевые условия вида (5) и (6).

Хотя основные уравнения были записаны для двумерного случая, их легко распространить на трехмерный случай, чтобы иметь возможность иметь дело с более общими задачами. С другой стороны в некоторые задачи входит только одна независимая переменная; на рис 1.б., например, рассматривается поток тепла через плиту, на которых условия не меняются по у.

Рисунок 1.б.

Тогда из уравнения (8) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

,

А областью «определения задачи» является отрезок 0 £ х £ L_x.

Дата добавления: 2014-01-03