Закон нормального распределения случайных событий (величин) или закон Гаусса

Закономерности частоты появления отдельных результатов измерений описываются законами распределения. Для многих наблюдений значения отдельных результатов по отношению к математическому ожиданию измеряемой величины описываются законом нормального распределения (закон Гаусса). Нормальный закон зависимости вероятности измерения определенного значения величины в определенном интервале значений величины наблюдается в тех случаях, когда на измерение действует много факторов, каждый из которых мало связан с большинством других, и влияние каждого фактора на конечный результат существенно меньше суммарного влияния всех остальных факторов.

Математическое определение закона Гаусса. Пусть имеется очень большое (теоретически бесконечное) количество чисел x_i, которое называется генеральной совокупностью. Непрерывная случайная величина x, принимающая значения от -¥ до +¥, называется нормально распределенной, если ее плотность вероятности (частота появления) определяется выражением:

Р(х) = 1/(sÖ2p)*ехр((x_i – а)²/2s²),

где Р(х) - частота появления результата x_i; а и s - числовые параметры распределения.

Величина а называется генеральной средней случайной величины x_i (часто ее обозначают m и называют математическим ожиданием). Параметр s называется генеральным средним квадратическим отклонением случайной величины Х или стандартным отклонением. s² называется генеральной дисперсией случайной величины.

Математическое ожидание (истинное) m для непрерывной случайной величины задается интервалом:

+ ¥

m = ò Р(x)_* dx

-¥

Дисперсия s² характеризует рассеяние случайной величины относительно истинного и определяется как математическое ожидание квадратов отклонений х от m:

+¥

s² = ò (х - m)² Р(х)dх

-¥

Положительное значение корня квадратного из дисперсии s называют стандартным отклонением и используют для характеристики рассеяния случайной величины х в генеральной совокупности относительно истинного m.

Для практического использования (в частности при обработке данных химического анализа) обычно применяют нормированный закон нормального распределения, который получают при переходе от величины х к функции:

u = (х - m.)/ s,

где u - отклонение переменной величины х от математического ожидания, выраженное в долях стандартного отклонения. Т.к. при этом u = 0, а s² = 1, то выражение преобразуется в:

j(u) = 1/(Ö2p)*ехр(- u ²/ 2).

При обработке результатов многократных измерений и сопутствующих им случайных погрешностей принято приводить два статистических критерия - ширину доверительного интервала, внутри которого могут лежать результаты отдельных измерений, и доверительную вероятность того, что они попадают в этот интервал.

e (D х) - доверительный интервал в абсолютных единицах или ширина поля допуска - расстояние между двумя вертикальными линиями, соответствующее максимально допустимому (приемлемому, доверительному) отклонению переменной величины; характеризует точность измерения.

Р - доверительная вероятность (степень надежности, коэффициет надежности) -доля площади, ограниченная кривой распределения и пределами доверительного интервала.

Доверительная вероятность - это вероятность попадания переменной величины в заданный доверительный интервал.

Доверительная вероятность возрастает с увеличением доверительного интервала и уменьшается с увеличением стандартного отклонения.

При одинаковом доверительном интервале, выраженном в долях стандартного отклонения (u), доверительная вероятность Р одинакова.

a - уровень значимости отклонений - доля площади, ограниченной кривой распределения за пределами доверительного интервала a = 1 - Р. Уровень значимости равен вероятности непопадания переменной величины в заданный доверительный интервал или равен вероятности отклонений от принятых пределов. Уровень значимости уменьшается с увеличением доверительного интервала и увеличивается при увеличении стандартного отклонения s. При одинаковых u уровень значимости одинаков.

Значения интегральной функции распределения представлены в таблицах, пользуясь которыми можно найти вероятность, с которой величина u не превзойдет заданного значения. Чаще при статистической обработке данных пользуются табулированными значениями интеграла:

Дата добавления: 2014-01-03