Исследование функции на возрастание и убывание (монотонность)

Определение. Точка называется стационарной, если производная в ней равна нулю или не существует.

Признаки возрастания и убывания функции.

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а;в), т. е. f ′(x) > 0, то функция в этом интервале возрастает.

Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале (а;в), т. е. f ′(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания.	Образец решения.
1. Найти Д(f). 2. Найти f ′(x). 3. Найти стационарные точки, т.е. точки, где f ′(x)=0 или f ′(x) не существует. (производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя) 4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой. 5. Определить знаки производной на каждом из интервалов. 6. Применить признаки. 7. Записать ответ.	у = х^3 – 3х^2 1. Д(у)= R,т.к. многочлен. 2. f ′(x)=3х^2-6х. 3. f ′(x)= 0: f ′(x)не существует: 3х^2-6х=0, таких х нет. 3х(х-2)=0, 3х=0, х-2=0, х=0, х=2. 4. f ′(x) + - + 0 2 5. f ′(-1)=3(-1)^2-6(-1)=3+6=9 + f ′(1)=3 ۰ 1^2-6 ۰ 1=3-6= -3 - f ′(3)=3 ۰ 3^2-6 ۰ 3=27-18=9 +   6. f ′(х)>0, т.е. + f ′(х)<0, т.е. - Ответ. Возрастает на (-∞;0)U(2;+ ∞) Убывает на (0;2).

Дата добавления: 2014-01-03