Резистивно-емкостные цепи первого порядка. ФНЧ и ФВЧ

Урок 2. Резистивно-ёмкостные фильтры

Изобразим схему замещения простейшего резистивно-ёмкостного фильтра низких частот.

С

R

К порту 1 – 1^/ подключен источник с напряжением. Порт 2 – 2^/ служит для подключения нагрузки фильтра.

Наилучшие частотные характеристики фильтра достигаются при подключении к нему идеального источника напряжения, и в режиме холостого хода по выходу 2 – 2^/!

Найдем функцию передачи фильтра для этих условий, предлагая, что источник вырабатывает гармонические колебания с неизменной амплитудой.

Тогда АЧХ

и ФЧХ

Построим графики частотных характеристик цепи.

Найдем частоту среза фильтра. Ввиду того, что зависимость является плавной функцией, для указания этой частоты договоримся считать верхней границей полосы пропускания то значение частоты, при котором относительный уровень АЧХ равен. Из этого условия получаем уравнение

решение которого – верхняя частота среза

Получилось простое и удобное выражение. При таком выборе частота среза совпадает по модулю с собственной частотой рассматриваемой цепи. Она обратна постоянной времени этой цепи. С ростом сопротивления R и ёмкости C ширина полосы пропускания фильтра снижается.

Перейдем к вычислению операторной функции передачи. Произведя замену частот получим, что

Полюс этой функции

совпадает с собственной частотой цепи.

Построим карту полюсов и нулей функции на плоскости комплексной частоты.

jw

s

´

Полюс выделен на карте крестиком. Он единственный, так как рассматривается цепь первого порядка. Он является действительным отрицательным числом.

Частотные характеристики радиоэлектронных цепей, как правило, определяют в очень широких диапазонах частот, т.е. на несколько порядков. При этом значения АЧХ также находятся в широком диапазоне. Для того, чтобы иметь возможность рассматривать частотные характеристики в больших диапазонах частот и уровней с достаточной точностью, переходят к построению графиков АЧХ и ФЧХ в логарифмическом масштабе по оси частот.

Определим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) цепи соотношением

Значения этой характеристики – уровни выходного сигнала – определяют в децибелах (дБ).

Как нетрудно заметить, ЛАЧХ удобна тем, что её график проще, чем изображение «обычной» АЧХ. Действительно, в глубине полосы пропускания, когда произведение

а в полосе задерживания, если

В полном логарифмическом масштабе график этой функции есть наклонная прямая. Учитывая эти приближенные результаты, аппроксимируем график ЛАЧХ двумя лучами.

-20

-40

10²

0,1

Как видно из построений, точная ЛАЧХ, выделенная штриховой линией, отличается от аппроксимированных прямых только в небольшой окрестности частоты среза, когда.

Так как ЛАЧХ в полосе задерживания с высокой точностью представляется прямой, можно просто оценивать качество фильтра, т.е. его частотную избирательность, крутизной этой прямой, называемой крутизной среза S_ср.

Крутизну среза определяют в децибелах на декаду, т.е. при изменении частоты на один порядок, в десять раз, или в децибелах на октаву, т.е. при изменении частоты вдвое.

Для рассматриваемого фильтра крутизна среза составляет или. Это означает, что при изменении частоты в 10 раз уровень АЧХ меняется тоже в 10 раз.

Еще одним важным параметром является крутизна фазо-частотной характеристики в полосе пропускания, называемая групповым временем задержки сигнала.

Найдем время задержки сигнала для рассматриваемого ФНЧ.

В глубине полосы пропускания, когда, т.е..

Значит, сигнал, проходящий через RC ФНЧ, задерживается в нем на время, практически равное постоянной времени.

Перейдем к изучению резистивно-емкостного фильтра высоких частот первого порядка. Он получится, если поменять местами элементы низкочастотного фильтра.

С

R

Определим комплексную функцию передачи этого фильтра.

Тогда АЧХ

и ФЧХ

Операторная функция передачи ФВЧ

и карта полюсов и нулей

jw

s

´

Отличие от карты ФНЧ в том, что есть нуль в начале координат. Видна закономерность – число нулей функции передачи ФВЧ совпадает с числом полюсов, т.е. с порядком цепи.

Построим графики частотных характеристик ФВЧ.

Расчеты, проведенные с привлечением полученных выражений частотных характеристик, дают следующие результаты:

– нижняя частота среза

– крутизна среза в полосе задерживания

– время задержки сигнала в полосе пропускания, т.е. равно постоянной времени цепи.

Для повышения частотной избирательности рассмотренные фильтры соединяют каскадно, присоединяя к выходу предыдущего фильтра первого порядка вход последующего фильтра.

Если нагрузить ФНЧ на ФВЧ, либо включить их в обратном порядке, получится полосно-пропускающий RC фильтр. Кроме того, как полосовой фильтр применяют последовательно-параллельную RC цепь, построенную по схеме Вина.

С

R

С

R

Частотные характеристики всех перечисленных структур полосовых фильтров одинаковы.

Дата добавления: 2014-01-03