Однотональная ЧМ

Частотная модуляция

Радиосигналы с угловой модуляцией

В качестве изменяемых параметров берётся фаза или частот, помех меньше, чем при АМ.

U_ЧМ(t) = U_mcos

S(t) – полезный сигнал.

Передача сигналов методом частотной модуляции была предложена в 1902 году американским учёным К. Эретом. При ЧМ мгновенное значение частоты связано с модулирующим сигналом S(t) следующим выражением:

ω(t) = ω₀ + k_ЧМ S(t),

где k_ЧМ – размерный коэффициент пропорциональности между частотой и напряжением: k_ЧМ – [рад/(с*В)].

Рассмотрим случай, когда модулирующий сигнал имеет вид S(t) = E₀cos Ωt. Полная фаза ЧМ-сигнала в любой момент времени t определяется путём интегрирования мгновенной частоты.

U_ЧМ(t) = U_mcos;

S(t) = E₀cos Ωt;

ψ(t) = ω₀t+ sin Ωt = ω₀t + m sin Ωt,

где Δω – максимальное отклонение частоты от значения ω₀, называемое девиацией частоты, m_чм – индекс модуляции, или максимальное отклонение от текущей фазы:

m_чм = Δω/Ω = (k_ЧМE₀)/Ω.

С учётом полученных выше выражений ЧМ-сигнал U_ЧМ(t) = U_mcos ψ(t) = U_m cos [ω₀t + m_ЧМsinΩt] (1)

Изобразим исходное несущее колебание, модулирующий сигнал и полученный ЧМ-сигнал.

U_нес(t) = U_mcos(ω₀t+γ), γ = 90°;

U_мод(t) = E₀cos(Ωt+θ₀), θ₀ = 90°.

Спектр однотонального ЧМ-сигнала

Исходя из выражения (1), получим:

(1) = U_m cos (msin Ωt)*cos ω₀t - U_m sin (msin Ωt)*sin ω₀t.

Проанализировав полученное выражение для двух случаев:

1. m << 1 – такая модуляция узкополосная. Тогда выражение (1) трансформируется:
U_ЧМ(t) = U_mcos ω₀t – U_m msin Ωt*sin ω₀t = U_mcos ω₀t + ((U_mm)/2)sin(ω₀+Ω)t - ((U_mm)/2)sin(ω₀-Ω)t.
Полученное выражение совпадает с выражением для спектра однотональной АМ, отличие лишь в индексе модуляции, главное отличие – амплитуда нижней боковой составляющей имеет знак «-», или её начальная фаза изменена на 180°

2. m > 1.

2012-04-07

Данный случай представляет большой практический интерес, потому как при больших m помехоустойчивость сигналов с угловой модуляцией (УМ) значительно выше, чем у АМ и УМ с m ≤1.
U_ЧМ(t) = U_mcos(msin Ωt)*cosω₀t+U_msin(msin Ωt)*sin ω₀t.
Для расчёта спектра ЧМ-сигнала в данном случае используют функции Бесселя:
cos(msinΩt) = J₀(m) + 2 (m)*cos2nΩt (2)
sin(msinΩt) = 2 (m)sin(2n+1)Ωt (3),
где J_n(m) – функция Бесселя 1ого рода n-ного порядка.
В теории функции Бесселя доказывается, что: J_-n(m) = (-1)ⁿJ_n(m).
Подставим ряды (2) и (3) в формулу (1) и заменим произведение косинусов и синусов полусуммами косинусов соответствующих аргументов и получим следующее выражение:
U_ЧМ(t) = U_mJ₀(m)cosω₀t + cos(ω₀+nΩ)t + J_n(m)cos(ω₀ – nΩ)t
Таким образом, спектр ЧМ-сигнала с однотональной модуляцией (при m>1) состоит из множества ВЧ-колебаний (гармоник):

· Несущего колебания U_mJ₀(m)cosω₀t

· Бесконечного числа боковых составляющих с частотами ω₀+nΩ и ω₀ – nΩ. При этом начальные фазы с такими частотами совпадают, когда n чётное и отличаются на 180°, когда n – нечётное

Теоретически спектр ЧМ-сигнала бесконечен, однако в реальных условиях он ограничен ввиду малых значений функций Бесселя при больших n. На практике считают, что функции Бесселя становятся весьма малыми, начиная с номера n ≥ m+1, поэтому ширина спектра сигнала с УМ:
Δω_УМ = 2(m+1)Ω.
Поскольку применяемый на практике ЧМ и ФМ сигналы имеют m>>1, то формула трансформируется в:
Δω_УМ = 2mΩ = 2ω_{девиации}.

Рассчитать спектр однотонального ЧМ-колебания (считается, как и ФМ) с индексом модуляции m=3. Амплитуда несущего колебания U_m = 1В, θ₀ = γ₀ = 0.

Воспользуемся функциями Бесселя и построим спектр:

Дата добавления: 2014-01-03