Основные теоремы о непрерывных функциях

Точки разрыва функции и их классификация

‚Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если х = х ₀ - точка разрыва функции y = f (x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции.

Пример.

1. . 2.

3) 4) .

▼Точка разрыва х ₀ называется точкой разрыва первого рода функции y = f (x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом:

1) если, А ₁= А ₂, то точка х ₀ называется точкой устранимого разрыва;

2) если , то х ₀ называется точкой конечного разрыва.

Величину | A ₁- A ₂| называют скачком функции в точке разрыва первого рода. ▲

▼Точка разрыва х ₀ называется точкой разрыва второго рода функции y = f (x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. ▲

Задание. Найти точки разрыва и выяснить их тип для функций:

1) ; 2) .

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель не равен нулю).

Теорема 2. Пусть функции u = φ (x) непрерывна в точке х ₀, а функция y = f (u) непрерывна в точке u = φ (x₀). Тогда сложная функция f (φ (x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке х ₀.

Теорема 3. Если функция y = f (x) непрерывна и строго монотонна на [ a;b ] оси Ох, то обратная функция у = φ (x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [ c; d ] оси Оу.

_ Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Дата добавления: 2014-01-03