Фононная теплоемкость твердых тел

Состояние фононов характеризуется волновым вектором с указанием ветви колебаний . При этом, если отсчитывать энергию от энергии основного состояния , то

Применим формулы статистической термодинамики для определения среднего числа фононов в состоянии и свободной энергии кристалла.

Особенно просто вычисления проводятся в предельных случаях низких и высоких .

А) низкие температуры ()

Оценка: пусть возбуждаются только фононы акустической ветви.

Тогда

– скорость звука, соотв.ветви колебаний

Пусть

По порядку величины ,

Тогда

Поставленное условие выполняется если

При большом числе ячеек в атоме кристалла

. Учтем, что

В результате

Где

Интегрируя по частям, получим

Итак

Средняя скорость акустических фононов.

Следовательно, полная энергия равна

Теплоемкость единицы объема кристалла

Б) высокие температуры

Если для всех фононов, то

В этом случае полная энергия равна

(– число атомов в элементарной ячейке. Всего () оптических ветвей)

Тогда теплоемкость

В) средние температуры

В этом случае необходимо детально знать зависимость : сделаем следующие предположения

а) для оптических ветвей колебаний пренебрегают зависимостью их частоты от волнового вектора (приближение Эйнштейна)

Тогда

Суммирование по всем оптическим ветвям.

б) при вычислении вклада акустических фононов используется приближение Дебая для трех акустических ветвей. Энергии трех акустических ветвей равные

Максимальная частота колебаний определяется из условия, чтобы полное число фононов равнялось (3 ветви акустических колебаний)

Тогда

В результате

Вводя переменную и дебаевскую температуру , после интегрирования по частям получим

Где функция Дебая

Это даст

Учитывая, что

Получим при высоких и низких температурах

Простота дебаевского приближения в том, что весь спектр акустических колебаний выражается через один параметр – дебаевскую температуру

В частности

Кристалл	Pb	KBr	NaCl	C алмаз
, К

ТЕМА №4

Дата добавления: 2014-01-03