Преобразование Лапласа. Дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ), как и ДПФ, может быть получено из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = kDt

Дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ), как и ДПФ, может быть получено из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (t_k = kDt, w_n = nDw):

Y(p) =y(t) exp(-pt) dt, Y(p_n) = Dty(t_k) exp(-p_nt_k), (8.7)

где p = s+jw - комплексная частота, s ³ 0.

y(t) = (1/2pj) Y(p) exp(pt) dp. y(t_k) = DtY(p_n) exp(p_nt_k). (8.8)

Функцию Y(p) называют изображением Лапласа функции y(t) – оригинала изображения. При s = 0 преобразование Лапласа превращается в одностороннее преобразование Фурье, а для каузальных сигналов – в полную аналогию ПФ. Преобразование Лапласа применяется для спектрального анализа функций, не имеющих фурье-образов из-за расходимости интегралов Фурье:

Y(p) =y(t) exp(-st-jwt) dt =y(t) exp(-st) exp(-jwt) dt =y'(t) exp(-jwt) dt.

Правый интеграл для каузальных сигналов представляет собой преобразование Фурье, при этом сигнал y'(t) за счет экспоненциального множителя exp(-st) соответствующим выбором значения s>0 превращается в затухающий и конечный по энергии. Все свойства и теоремы преобразований Фурье имеют соответствующие аналоги и для преобразований Лапласа.

Пример сопоставления преобразований Фурье и Лапласа приведен на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Сопоставление преобразований Фурье и Лапласа

Дата добавления: 2014-01-03