Методы выявления основной тенденции в рядах динамики

Одной из важнейших задач, возникающих при изучении рядов динамики, является выявление основной тенденции развития исследуемого явления или процесса. Основной тенденцией развития (трендом) называют общую направленность изменения уровней динамического ряда. Сложность решения этой задачи состоит в том, что на динамику изучаемого показателя оказывают влияние различные факторы, которые могут влиять в различных направлениях и с различной силой. Одни из факторов оказывают постоянное воздействие и формируют главную тенденцию динамики. Другие факторы являются второстепенными, случайными и не связаны с основной тенденцией развития конкретного явления или процесса. Соответственно, фактические уровни ряда динамики можно представить как результат влияния следующих составляющих:

- тенденции, характеризующей основное направление развития явления за длительный период времени;

- периодических (сезонных) колебаний, вызванных особенностями развития явления в одних периодах времени по сравнению с другими;

- случайных колебаний, связанных с действием различных второстепенных факторов.

Каждая из этих составляющих имеет свое аналитическое и прикладное значение. Но прежде всего, изучается и оценивается основная тенденция изменения показателей динамического ряда. Цель статистики - с помощью специальных методов «очистить» динамику показателя от влияния второстепенных и случайных факторов путем сглаживания (выравнивания) уровней ряда динамики. Суть различных приемов сглаживания заключается в замене фактических уровней ряда динамики расчетными уровнями (выровненными или теоретическими), которые в меньшей степени подвержены случайным колебаниям и более четко показывают основную тенденцию развития изучаемого явления или процесса.

Для достижения этой цели применяются разнообразные статистические методы. Наиболее распространенными методами выявления основной тенденции в рядах динамики выступают:

· механическое выравнивание методом укрупнения интервалов;

· механическое выравнивание методом скользящей средней;

· аналитическое выравнивание.

Наиболее простым в использовании является метод укрупнения интервалов, основанный на замене ряда динамики, состоящего из мелких интервалов, динамическим рядом, состоящим из более крупных интервалов. При укрупнении интервалов влияние случайных факторов нивелируется и основная тенденция проявляется более отчетливо. Поэтому выявление тенденции осуществляется по новому укрупненному ряду динамики. Например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд помесячной динамики, ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями. Уровни нового ряда могут быть получены путем суммирования уровней исходного ряда, либо могут представлять собой средние уровни, рассчитанные по формуле простой средней арифметической. К достоинствам этого метода относят его простоту при сохранении природы изучаемого явления. Недостатком этого способа является уменьшение исходного числа уровней ряда динамики и невозможность учета колебаний внутри укрупненных периодов. Поэтому при формировании укрупненных интервалов нельзя допустить потери важной аналитической информации.

М етод скользящей средней заключается в замене первоначальных уровней ряда динамики средними арифметическими, найденными по способу последовательного перемещения (скольжения) на один интервал. Скользящая средняя относится к подвижным динамическим средним. Сущность данного метода заключается в том, что сначала вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее – начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчете средних уровней они как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название – скользящая средняя. Каждое звено скользящей средней – это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода, если число уровней ряда динамики нечетное. При этом, как и в предыдущем методе происходит укрупнение интервала, что и дает возможность выявить основную тенденцию. Наиболее сложной проблемой при использовании этого метода является правильный выбор числа «звеньев» (уровней) динамического ряда. При неудачном выборе звенности скользящих средних выявление основной тенденции затруднено.

Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Кроме этого, метод укрупнения интервалов и метод скользящей средней не позволяют получить количественную модель описания тренда.

Эти недостатки можно устранить применением более совершенного метода выявления тенденции ряда динамики – метода аналитического выравнивания. Аналитическое выравнивание заключается в выявлении основной тенденции изменения уровней ряда динамики во времени с помощью соответствующей математической модели (уравнения связи).

Основная идея метода аналитического выравнивания заключается в том, что общая тенденция развития рассматривается как функция времени:

,

где – уровни ряда динамики, рассчитанные по выбранному аналитическому уравнению на момент времени t.

Таким образом, изменение явления связывают только с фактором времени. При этом считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени.

Определение расчётных (выравненных, теоретических) уровней производится на основе адекватной математической модели, т.е. модели, которая наилучшим образом характеризует (отображает) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели определяется целями исследования и должен основываться на теоретическом анализе, с помощью которого можно понять характер динамики явления, а также на графическом представлении ряда динамики.

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: линейная, показательная, степенная (кривая второго порядка), экспоненциальная, логистическая кривая, гиперболическая и другие виды.

Линейная функция () используется в том случае, если цепные абсолютные приросты практически постоянны (примерно равны), т.е изменение происходят в арифметической прогрессии.

Показательная функция () применяется, когда равны цепные коэффициенты роста, т.е. уровни ряда динамики изменяются в геометрической прогрессии.

Степенная функция () применяется, когда равны вторые разности (разности между смежными абсолютными приростами).

При выборе формы уравнения следует учитывать объём имеющейся информации. Чем больше параметров содержится в уравнении, тем больше должно быть наблюдений.

Параметры уравнения рассчитывают по методу наименьших квадратов, согласно которому сумма квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями ряда динамики является величиной минимальной:

,

где – выравненные (расчётные) уровни ряда; y_t – фактические (эмпирические) уровни.

Параметры уравнения a₀, a₁, …, a_n находят с помощью системы нормальных уравнений. На основе выбранного уравнения рассчитывают выравненные уровни. Таким образом, фактические уровни заменяют плавно изменяющимися расчётными значениями, что и означает выравнивание ряда динамики.

Выравнивание ряда динамики по линейной функции () производится в следующем порядке.

Для нахождения параметров a₀ и a₁ в соответствии с методом наименьших квадратов используем систему нормальных уравнений:

где y – фактические уровни ряда; t – условное обозначение времени (периода или момента).

Расчёт параметров можно значительно упростить, если центральный интервал или момент времени принять за начальный (t=0).

Если в ряду динамики содержится чётное число уровней (моментов), то у каждого из них будут следующие условные обозначения t:

2003 г. 2004 г. 2005 г. 2006 г. 2007 г. 2008 г. 2009 г. 2010г.

-7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7

Если в ряду содержится нечётное число уровней (моментов), то значения t будут следующими:

2004 г. 2005 г. 2006 г. 2007 г. 2008 г. 2009 г. 2010г.

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

В любом случае, следовательно, первоначальная система нормальных уравнений принимает следующий вид:

Таким образом,,. В данном случае, параметр а₀ представляет собой средний уровень ряда, а параметр а₁ – средний абсолютный прирост.

Если модель выбрана верно, и расчёты произведены правильно, то:

.

Результаты аналитического выравнивания можно использовать не только для количественной характеристики основной тенденции, но и прогнозирования социально-экономических показателей. Метод разработки прогноза на основе математической модели, полученной в результате аналитического выравнивания, называется экстраполяцией. Его суть заключается в переносе тенденций, наблюдавшихся в прошлом, в будущее. Поскольку в действительности тенденции развития не остаются неизменными, то прогнозные данные, полученные методом экстраполяции, следует рассматривать как вероятностные оценки. Этот метод прогнозирования целесообразно применять в условиях социально-экономической и финансовой стабильности.

Дата добавления: 2014-01-03