![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Двойной интеграл в полярных координатах
Лекция 5. Замена переменных в кратных интегралах. Якобиан и его геометрический смысл. Полярные, цилиндрические и сферические координаты в двойных и тройных интегралах. Площадь поверхности и её вычисление Приложения кратных интегралов О двух приложениях было сказано выше, когда обсуждался вопрос о геометрическом смысле двойного интеграла (объём цилиндрического тела) и механическом смысле тройного интеграла (масса тела). Укажем ещё на некоторые другие приложения. 1. Масса плоской пластинки 2. Площадь плоской области 3. Объём тела Немного позже будет дано понятие площади произвольной поверхности. Будет показано, что если поверхность
Пример 5 ( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Пластинка Решение. Вычисляем массу пластинки по фор- муле тывая формулу (4) записи двойного интеграла в полярных координатах, будем иметь
Пример 6 ( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Найти объем тела, заданного ограничиваю- щими его поверхностями Решение. Объём тела вычисляем тройным интегрированием:
Ранее упоминалось, что некоторые двойные интегралы удобно вычислять в полярных координатах. В отличие от прямоугольных декартовых координат полярные координаты являются криволинейными. Перейдем к описанию криволинейных координат общего вида.
Пусть в плоскости Определение 1. Говорят, что функции
задают взаимно однозначное соответствие области Ясно, что в этом случае существует и обратное отображение Определение 2. Пара называются координатными линиями точки Таким образом, в области Определение 3. Определитель Можно показать, что Теорема 1. Имеет место равенство
если выполнены следующие условия: 1) функция 2) функции 3) якобиан
Рассмотрим функции начно отображать плоскость переменных Из теоремы 1 вытекает, что двойной интеграл в обобщенных полярных координатах будет таким: При
для двойного интеграла в полярных координатах. Здесь и выше Пример 1 (( Кузнецов Л.А. Типовые расчеты ). Пластинка
При этом эллипсы
Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 4202; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |