Низкочастотный фильтр Баттеруорта

Введение

Лекция 10. РЕКУРСИВНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Процесс проектирования рекурсивного частотного фильтра обычно заключается в задании необходимой передаточной характеристики фильтра в частотной области и ее аппроксимации с определенной точностью какой-либо непрерывной передаточной функцией, с последующим z-преобразованием для перехода в z-область. Первые две операции хорошо отработаны в теории аналоговой фильтрации сигналов, что позволяет использовать для проектирования цифровых фильтров большой справочный материал по аналоговым фильтрам. Последняя операция является специфичной для цифровых фильтров.

Для алгебраического преобразования непрерывной передаточной функции в многочлен по z используется билинейное преобразование, известное в теории комплексных переменных под названием дробно-линейного преобразования.

Рис. 10.1.1. АЧХ фильтра Баттеруорта.

Передаточная функция. Гладкий вид амплитудно-частотной характеристики фильтра Баттеруорта (рис. 10.1.1) задают квадратом передаточной функции вида:

|H(W)|² = H(W)H*(W) = 1/(1+W^2N).

где W = w/w_c - нормированная частота, w_c - частота среза АЧХ фильтра, на которой |H(w)|² = 1/2 (соответственно H(w) = 0.707, или 3 дб), N - порядок фильтра, определяющий крутизну среза АЧХ. Функция |H(W)|² – представляет собой энергетический спектр сигнала (спектральную плотность мощности) и не имеет фазовой характеристики, т.е. является четной вещественной, образованной произведением двух комплексно сопряженных функций H(W) и H*(W), При W → 0 коэффициент передачи фильтра стремится к 1. Учитывая, что результаты вычислений будут относиться к цифровым фильтрам и при z-преобразовании с переходом в главный частотный диапазон произойдет искажение частот, до начала расчетов фактические значения задаваемых частотных характеристик (значения w_c, w_p и w_s) следует перевести в значения деформированных частот по выражению:

w_д = (2/Dt) tg(wDt/2), -p/Dt<w<p/Dt. (10.1.1)

Крутизна среза. Наклон частотной характеристики фильтра при переходе от области пропускания к области подавления можно характеризовать коэффициентом крутизны среза фильтра K в децибелах на октаву:

K = 20 log|H(w₂)/H(w₁)|, (10.1.2)

где w₁ и w₂ - частоты с интервалом в одну октаву, т.е. w₂ = 2w₁.

Длительность импульсной реакции фильтра в пределах ее значимой части также зависит от крутизны среза: чем больше крутизна, тем больше длительность импульсного отклика фильтра.

Порядок фильтра. Принимая w₁=W_c, w₂=W_s и подставляя в (10.1.2) значения H(W) с приведенными данными, получим приближенное выражение для определения порядка фильтра по заданному значению К:

N = K/6. (10.1.6')

Так, для гарантированного ослабления сигнала в полосе подавления в 100 раз (40 децибел) порядок фильтра N = 7. В среднем, при изменении N на единицу коэффициент подавления сигнала изменяется на 6 децибел.

Исходные требования к передаточной функции фильтра обычно задаются в виде значений w_p, w_s и коэффициентов неравномерности (пульсаций) A_p и A_s (см. рис. 10.1.1). Для определения частоты среза w_c по уровню 0.707 и порядка фильтра введем параметр d, связанный с коэффициентом А_р следующим соотношением:

(1-А_р)² = 1/(1+d²).

d = [1/(1-А_р)]= A_p/(1-A_p). (10.1.3)

Для учета деформации частотной шкалы в процессе билинейного преобразования при переходе в дальнейшем к полиномам по Z, выполняем расчет деформированных частот w_dp и w_ds по формулам:

w_dp= 2 tg(w_pDt/2)/Dt, (10.1.4)

w_ds= 2 tg(w_sDt/2)/Dt.

При нормированной частоте W = w/w_dc, где w_dc соответственно также деформированная частота, на границах переходной зоны выполняются равенства:

1/(1+d²) = 1/[1+(w_dp/w_dc)^2N], (10.1.5)

A_s² = 1/[1+(w_ds/w_dc)^2N].

Отсюда:

d² = (w_dp/w_dc)^2N, 1/A_s² - 1 = (w_ds/w_dc)^2N.

Решая эти два уравнения совместно, находим:

N = ln [d/] / ln(w_dp/w_ds), (10.1.6)

w_dc = w_dp/d^1/N. (10.1.7)

Дата добавления: 2014-01-03