Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема умножения вероятностей





Теорема умножения вероятностей касается процедуры вычисления вероятности произведения двух или большего числа событий. Применительно к двум событиям теорема формулируется следующим образом.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что произошло первое:

Р(АВ)= Р(А)Р(В/А)= Р(В)Р(А/В). (1.12.1)

Докажем теорему для схемы случаев. Пусть из общего числа N равновозможных, несовместных исходов, составляющих полную группу, событию А благоприятствует k исходов, событию В - l исходов и событию - m исходов (рис. 1.14).

Из условия и рис.1.14 ясно, что вероятности событий А, В и АВ равны, соответственно, Р(А)= k/N, P(B)= l/N, P(AB)= m/N.

 
 

Вычислим условную вероятность Р(В/А), т.е. вероятность события В при условии, что произошло событие А. Если событие А осуществилось, то это значит, что осуществилось одно из k событий, благоприятствующих А. Из общего числа k таких событий событию B благоприятствует только m случаев (рис. 1.14).

Следовательно, P(B/A)= m/k= (m/N)/(k/N)= P(AB)/P(A), откуда Р(АВ)= Р(А)Р(В/А).

По аналогии Р(А/В)= m/l= (m/N)/(l/N)= P(AB)/P(B) или P(AB)= P(B)P(A/B).

Из двух этих выражений получаем правило для определения вероятности совместного события, т.е. теорему умножения вероятностей:

P(AB)= Р(А)Р(В/А)= P(B)P(A/B) (1.12.1)

Из формулы видно, что в нее входят два типа вероятностей: безусловные вероятности Р(А) и Р(В), иногда называемые априорными, и условные вероятности Р(А/В) и Р(В/А), называемые апостериорными.

Теорему умножения можно доказать только для схемы случаев. Если данная схема для элементарных исходов опыта не имеет места, то теорема обосновывается тем, что приведенные в доказательстве соотношения справедливы для относительных частот соответствующих событий. Пусть произведено Nc опытов, из которых kс закончились осуществлением события А, lс - осуществлением события В и mc - осуществлением события АB. Тогда относительная частота появления события B среди исходов, заканчивающихся появлением А, равна:

, (1.12.2)

где Р*(А) и Р*(АВ) - относительные частоты событий А и АВ соответственно. При достаточно больших Nс соотношения для частот переходят в соотношения для вероятностей, а формула (2) приводит к формуле (1).

Из теоремы умножения вытекает ряд следствий.

Следствие 1.Если А1 не зависит от события А2, то и А2 не зависит от А1,. В самом деле, по условию А1, не зависит от А2, т.е. Р(А12)= Р(А1). По теореме умножения имеем (полагаем, что Р(А1)¹ 0): P(А1/А2)= P(А1)P(А2/А1)= P(А2)P(А12). Следовательно, P(А2)= P(А1)P(А2/А1)/P(А12)= P(А1)P(А2/А1)/P(А1)= P(А2/А1). Так как P(А2)= P(А2/А1), то событие А2 не зависит от А1.



Следствие 2.Вероятность произведения двух независимых событий А1 и А2 равна произведений вероятностей этих событий:

P(А1А2)= P(А1) P(А2). (1.12.3)

Доказательство вытекает из определения независимых событий.

Теорема умножения обобщается на случай произведения нескольких событий.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

P(A1A2…An)= P(A1)P(A2/A1)…P(An/A1, A2,…,An-1). (1.12.4)

Действительно, пусть имеется произведение нескольких зависимых событий A1, A2,…,An. Тогда P(A1)P(A2A3…An/A1)= P(A1)P(A2/A1) P(A3A4…An/A1 A2). Продолжая аналогичную процедуру, получим формулу (4).

Пользуясь формулой (4), можно убедиться, что

P(A1/A2A3)= P(A1A2/A 3)/Р(A2/A3)=

= P(A1/A 3)Р(A2/A1A3)/Р(A2A3). (1.12.5)

В случае произведения независимых событий A1, A2,…,An из (4) имеем:

P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(An)= ( 1.12.6)

 





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 655; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.