Теорема умножения вероятностей

Теорема умножения вероятностей касается процедуры вычисления вероятности произведения двух или большего числа событий. Применительно к двум событиям теорема формулируется следующим образом.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что произошло первое:

Р(АВ)= Р(А)Р(В/А)= Р(В)Р(А/В). (1.12.1)

Докажем теорему для схемы случаев. Пусть из общего числа N равновозможных, несовместных исходов, составляющих полную группу, событию А благоприятствует k исходов, событию В - l исходов и событию AВ - m исходов (рис. 1.14).

Из условия и рис.1.14 ясно, что вероятности событий А, В и АВ равны, соответственно, Р(А)= k/N, P(B)= l/N, P(AB)= m/N.

Вычислим условную вероятность Р(В/А), т.е. вероятность события В при условии, что произошло событие А. Если событие А осуществилось, то это значит, что осуществилось одно из k событий, благоприятствующих А. Из общего числа k таких событий событию B благоприятствует только m случаев (рис. 1.14).

Следовательно, P(B/A)= m/k= (m/N)/(k/N)= P(AB)/P(A), откуда Р(АВ)= Р(А)Р(В/А).

По аналогии Р(А/В)= m/l= (m/N)/(l/N)= P(AB)/P(B) или P(AB)= P(B)P(A/B).

Из двух этих выражений получаем правило для определения вероятности совместного события, т.е. теорему умножения вероятностей:

P(AB)= Р(А)Р(В/А)= P(B)P(A/B) (1.12.1)

Из формулы видно, что в нее входят два типа вероятностей: безусловные вероятности Р(А) и Р(В), иногда называемые априорными, и условные вероятности Р(А/В) и Р(В/А), называемые апостериорными.

Теорему умножения можно доказать только для схемы случаев. Если данная схема для элементарных исходов опыта не имеет места, то теорема обосновывается тем, что приведенные в доказательстве соотношения справедливы для относительных частот соответствующих событий. Пусть произведено N_c опытов, из которых k_с закончились осуществлением события А, l_с - осуществлением события В и m_c - осуществлением события АB. Тогда относительная частота появления события B среди исходов, заканчивающихся появлением А, равна:

, (1.12.2)

где Р*(А) и Р*(АВ) - относительные частоты событий А и АВ соответственно. При достаточно больших N_с соотношения для частот переходят в соотношения для вероятностей, а формула (2) приводит к формуле (1).

Из теоремы умножения вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Если А₁ не зависит от события А₂, то и А₂ не зависит от А₁,. В самом деле, по условию А₁, не зависит от А₂, т.е. Р(А₁/А₂)= Р(А₁). По теореме умножения имеем (полагаем, что Р(А₁)¹ 0): P(А₁ / А₂)= P(А₁)P(А₂ / А₁)= P(А₂) P(А₁/А₂). Следовательно, P(А₂) = P(А₁)P(А₂ / А₁)/P(А₁/А₂)= P(А₁)P(А₂ / А₁)/P(А₁)= P(А₂ / А₁). Так как P(А₂) = P(А₂ / А₁), то событие А₂ не зависит от А₁.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий А₁ и А₂ равна произведений вероятностей этих событий:

P(А₁А₂)= P(А₁) P(А₂). (1.12.3)

Доказательство вытекает из определения независимых событий.

Теорема умножения обобщается на случай произведения нескольких событий.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

P(A₁A₂…A_n)= P(A₁)P(A₂/A₁)…P(A_n/A₁, A₂,…,A_n-1). (1.12.4)

Действительно, пусть имеется произведение нескольких зависимых событий A₁, A₂,…,A_n. Тогда P(A₁)P(A₂A₃…A_n/A₁)= P(A₁)P(A₂/A₁) P(A₃A₄…A_n/A₁ A₂). Продолжая аналогичную процедуру, получим формулу (4).

Пользуясь формулой (4), можно убедиться, что

P(A₁/A₂A₃)= P(A₁A₂/A ₃)/Р(A₂/A₃)=

= P(A₁/A ₃)Р(A₂/A₁A₃)/Р(A₂A₃). (1.12.5)

В случае произведения независимых событий A₁, A₂,…,A_n из (4) имеем:

P(A₁A₂…A_n)= P(A₁)P(A₂)…P(A_n)= (1.12.6)

Дата добавления: 2014-01-03