Уравнение Бернулли, его энергетическая и геометрическая ин­терпретации

Рассматривая уравнение Бернулли для установив­шегося движения элементарной струйки идеальной жидкости, выделим в потоке жидкости элементарную струйку и определим удельную энергию жидкости. В идеальной жидкости при движе­нии не возникает сила трения, поэтому на основании закона сохранения энергии E₁=E₂.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости имеет вид

Здесь с энергетической точки зрения (в единицах энергии, Дж/кг) gz — удель­ная потенциальная энергия положения; Р/r — удельная потенциальная энергия давления; gz + Р/ r — удельная потенциальная энергия; u²/2 — удельная кинети­ческая энергия; и — скорость элементарной струйки идеальной жидкости.

Энергетический смысл уравнения Бернулли: для элементар­ной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, рав­ная сумме удельной потенцальной энергии давления, удельной потенциальной энергии положения и кинетической удельной потенциальной энергии положения и кинетической удельной энергии, есть величина постоянная во всех сечениях по отноше­нию к выбранной плоскости отсчета.

Разделив уравнение на g, получим уравнение полного напора:

z - геометрическая высота или геометрический напор, м; P/g — пьезометрический напор или пьезометрическая высота, м; u²/(2g) —скоростной напор или скоростная высота, м; Н —полный напор, м.

Представим элементарную струйку идеальной жидкости с осью, проходящей через точки А, В и С (рис. а).

Рис. а. Графическая иллюстрация уравнения Бернулли для струйки идеальной жидкости

Точки А, В и С лежащие соответственно в сечениях 1—1, 2—2, 3—3, расположены на высоте z₁, z₂, z₃ над плоскостью сравнения О—О. Отложим от точки А вверх по вертикали отрезок АА₁, равный пьезометрической высоте Р₁/(rg ), а затем от точки А₁ вверх отрезок A₁A₂, равный u²/(2g), т. е. равный скоростному напору. Аналогичное построение проведем для точек В, С в сечениях 2—2, 3-3. Такое же построение можно повторить и для остальных точек оси элементарной струйки. Вершины полученных вертикальных отрезков АА₂, ВВ₂, СС₂ и т. д. должны находиться на одинаковой высоте от плоскости сравнения, т. е. должны лежать в одной горизонтальной плоскости 0'— 0', так как сумма трех членов

z + Р/r )+ u²/(2g) согласно уравнению () вдоль всей. Струйки невязкой жидкости постоянна.

Для каждого сечения элементарной струйки полный напор Н это совокупность отрезков z, Р/ r ), u²/(2g ). Соединив между собой концы отрезков Н, получим горизонтальную линию, которая называется линией полного напора. Линию изменения пьезометрических высот называют пьезометрической линией.

С геометрической точки зрения для движущейся идеальной жидкости уравнение Бернулли показывает, что сумма трех высот — геометрической, пьезометрической и скоростной — есть величина постоянная. Линия полного напора параллельна плоскости отсчета.

Умножив все члены уравнения () на удельный вес жидкости g, получим

gz - весовое давление, Па; P — гидродинамическое давление, Па; rи² /2 — динамическое давление Па; gH — полное давление, Па.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости (рис. б):

Рис. в. Графическая иллюстрация уравнения Бернулли для потока жидкости

где ghs - потерянная удельная энергия, Дж/кг, затраченная на преодоление сопротивлений движению, обусловленных трением в вязкой жидкости.

Остальные члены уравнения имеют то же значение, что и в уравнении для идеальной жидкости.

При рассмотрении движения струйки реальной (вязкой) жидкости гидродинамический напор в каждом предыдущем сечении будет больше гидродинамического напора в последующем сече­нии на величину потерь напора hs. Соответственно с этим напорная плоскость или силовая линия 0' - 0' оказывается наклонной (рис. 3.2, б).

Вторая форма записи уравнения для струйки реальной жидкости:

где с геометрической точки зрения ghs —потеря напора, м.

Линия полного напора представляет собой спадающую кри­вую.

Дата добавления: 2014-01-03