Дифракция света

Вопросы:

1. Явление дифракции света. Виды дифракции.

2. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля.

3. Дифракция Френеля на круглом экране и круглом отверстии.

4. Дифракция Фраунгофера на одной щели.

1. Явление дифракции света. Виды дифракции. Дифракцией называется совокупность явлений, которые обусловлены волновой природой света и наблюдаются при распространении его в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Дифракция, в частности, приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Огибание препятствий звуковыми волнами (т.е. дифракция звуковых волн) наблюдается постоянно в обыденной жизни. Например, звук хорошо слышен за углом дома, т.к. звуковая волна его огибает. Для наблюдения дифракции световых волн необходимо создание специальных условий. Это обусловлено малостью длин световых волн. В пределе при l®0 законы волновой оптики переходят в законы геометрической оптики.

Между явлениями интерференции и дифракции нет существенных различий. При обоих явлениях происходит перераспределение энергии световых волн в результате их суперпозиции. Исторически так сложилось, что перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпозиции волн, возбуждаемых конечным числом дискретных когерентных источников, принято называть интерференцией волн, а вследствие суперпозиции волн, возбуждаемых когерентными источниками, расположенными непрерывно, принято называть дифракцией.

Для наблюдения дифракции на пути световой волны, распространяющейся от некоторого источника, помещается непрозрачная преграда, закрывающая часть волновой поверхности. За преградой помещается экран, на котором наблюдается дифракционная картина.

Различают два вида дифракции. Если источник света S и точка наблюдения М расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку М, образуют практически параллельные пучки, то говорят о дифракции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера. Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать также по схеме, представленной на рис.1а, причем точки S и М должны находиться в фокальной плоскости соответствующей линзы. Дифракцию Френеля можно наблюдать, если свет от точечного источника S падает на отверстие или непрозрачный диск, которые расположены достаточно близко от источника света, рис. 1б.

Рис.1а. Рис.1б.

2. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля. Проникновение световых волн в область геометрической тени можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени. Однако этот принцип не позволяет вычислить амплитуду (интенсивность) волн, распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференциивторичных волн. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства. Развитый таким образом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса - Френеля: все источники вторичных волн, расположенные на поверхности фронта волны, когерентны между собой; световая волна в любой точке пространства является результатом интерференции волн, излучаемых вторичными источниками и достигших этой точки. При этом предполагается, что вторичные волны излучаются только вперед, а возможность возникновения обратных вторичных волн исключается. Поскольку точек фронта, являющихся когерентными источниками новых волн,бесчисленное множество, то расчет интерференции сводится к довольно громоздкому интегрированию. Для упрощения решения этого вопроса Френелем был предложен метод разделения фронта волны на зоны таким образом, что волны от соседних зон приходят в точку наблюдения в противоположной фазе и ослабляют друг друга. С методом зон Френеля ознакомимся на примере дифракции сферической световой волны на непрозрачной преграде.

Пусть S - точечный источник монохроматического света, распространяющегося в однородной среде. По принципу Гюйгенса от него распространяется во все стороны сферическая волна. В некоторый момент времени фронт этой волны занимает положение Ф, рис.2. Рассмотрим произвольную точку М перед фронтом волны и соединим её прямой линией с источником света S. Волновые поверхности будут симметричны относительно прямой SМ.

Рис.2.

Если бы свет распространялся прямолинейно вдоль луча SРМ, то достаточно было бы поставить на его пути сколь угодно малый экран 1, чтобы в точке наблюдения М была полная темнота. Благодаря волновой природе света в точку М приходят волны не только от точки Р, но и от всех остальных точек фронта Ф, правда в различных фазах.

Для расчета результатов интерференции Френель предложил провести ряд сфер с центрами в точке М и радиусами, соответственно равными

МN₁ = МP +l/2,

MN₂ = МN₁ +l/2 = МP + 2l/2,

MN₃ = МN₂ +l/2 = МP + 3l/2, и т.д.

Тем самым фронт волны Ф разобьется на ряд кольцевых зон, заштрихованных на рис.2 через одну. Волны, приходящие в точку М от точек каждой последующей зоны, сдвинуты по отношению к волнам, приходящим от соответствующих точек предыдущей зоны, на λ/2, т.е. находятся в противоположных фазах, и их амплитуды при интерференции вычитаются. Из геометрического рассмотрения можно получить выражение для радиуса внешней границы m - ной зоны:

r_m=√abmλ/(a + b), m = 1, 2, 3, … (1)

Если, например, а = b = 1 м и λ = 0,5 мкм, то радиус первой зоны r₁ = 0,5 мм.

Занумеруем величины суммарных амплитуд волн, приходящих в точку М от каждой последующей зоны: А₁, А₂, а₃, А₄, А₅, А₆,....

Благодаря различию в расстояниях зон до точки наблюдения и в углах, под которыми видны эти площадки из точки М, величины этих амплитуд монотонно убывают:

А₁> А₂> а₃> А₄> А₅> А₆,....

В качестве допустимого приближения можно принять, что амплитуда колебания от некоторой k - той зоны Френеля А_k равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон:

А_k = (А_k+1 + А_k-1)/2. (2)

Амлитуда результирующего светового колебания в точке М, равна сумме амплитуд, создаваемых каждой отдельной зоной. При этом амплитуды от всех четных зон надо складывать с одинаковым знаком (например, положительными), а амплитуда волн от всех нечетных зон - с обратным знаком:

А = А₁ - А₂ +А₃ - А₄ + А₅ -.... (3)

Используя (2), можно это выражение представить в виде

А = А₁/2 + (А₁/2 – А₂ +А₃/2) + (А₃/2 –А₄ + А₅ /2) +...» А₁/2, (4)

так как оставшаяся часть от амплитуды последней зоны ± А_k/2 мала.

Таким образом при большом числе открытых зон Френеля амплитуда от воздействия всего фронта Ф в точке наблюдения М равная А = А₁/2 эквивалентна половине воздействия центральной зоны Френеля, т.е. распространение света от источника S в точку наблюдения М происходит так, будто свет распространяется прямолинейно вдоль направления SМ. Значит, волновое описание процесса распространения света не противоречит закону прямолинейного распространения света в однородной среде, используемого в геометрической оптике.

3. Дифракция света на круглом экране и круглом отверстии. Если на пути света от точечного источника S поставить не слишком большой круглый экран 2 так, чтобы перпендикуляр, опущенный на него из источника света, проходил через его центр, то в точке наблюдения М по-прежнему будет свет, хотя и меньшей интенсивности, рис.2.

Проведя через край экрана 2 линию МN₀, произведем деление фронта световой волны Ф, начиная от точки N₀, на такие же зоны Френеля, как и ранее. Повторяя все рассуждения, получим, что для идеального круглого экрана 2, закрывающего (m – 1) первых зон Френеля, результирующая амплитуда колебаний в точке М будет А' = А_m¢/2, где А_m¢ - амплитуда первой открытой зоны, отсчитываемой от N₀. По мере увеличения экрана 2 величина А' будет убывать, но точка М остается освещенной всегда практически до тех пор, пока экран не закроет достаточно большого числа зон Френеля. Лишь в этом последнем случае станет справедливым положение геометрической оптики о прямолинейном распространении света: препятствие, перекрывающее луч SМ, даст в точке наблюдения геометрическую тень. Вблизи границ тени будет наблюдаться слабая дифракционная картина.

Более того, если сделать "зонный экран" 3, состоящий из ряда непрозрачных колец, закрывающих все нечетные (или все четные) зоны Френеля, то результирующая амплитуда

А= А₂ + А₄ + А₆.... (5)

оказывается даже большей, чем при отсутствии всякого экрана. Т.е. такой экран действует подобно собирательной линзе. Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные (или нечетные) зоны, а изменяя фазу их колебаний на p. Это можно осуществить с помощью прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих четным или нечетным зонам, отличается на определенную величину. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с перекрывающей зоны амплитудной зонной пластинкой применениефазовой пластинки даст дополнительное увеличение амплитуда в два раза, а интенсивности света - в 4 раза.

Деление фронта волны Ф на зоны Френеля является относительным и зависит от расстояния до точки наблюдения М,

Пренебрегать дифракционными явлениями и рассматривать свет распространяющимся прямолинейно вдоль лучей, исходящих от источника, допустимо лишь, если размеры экрана велики по сравнению с размерами зон Френеля. Чем короче l, тем меньше размеры этих зон и тем точнее можно пользоваться приближенными понятиями лучевой (геометрической) оптики. Т.к. для видимого света l = 0,4 - 0,8 мкм, то при наблюдении макроскопических тел этими приближениями можно пользоваться с достаточной точностью. Однако при уменьшении размеров тел начинают проявляться дифракционные явления.

Поставим на пути сферической световой волны распространяющейся от источника света S непрозрачный экран с вырезанным в нем круглым отверстием радиуса r. Расположим экран так, чтобы перпендикуляр, опущенный из источника света S, попадал в центр отверстия. На продолжении этого перпендикуляра возьмем точку Р, в которую поместим экран, параллельный плоскости отверстия, рис.3.

Рис.3.(стр.380, Савельев)

Если расстояния а и b удовлетворяют соотношению (1), где m - целое число, то отверстие оставит открытым ровно m первых зон Френеля, построенных для точки Р. Из (1) число открытых зон Френеля определяется выражением

m = r_m²(1/а+1/b)/l. (6)

В соответствии с (3) амплитуда результирующего колебания в точке Р будет равна

А = А₁ -А₂ +А₃ –А₄ +....±А_m (7)

Перед А_m берется знак «+», если m нечетное, и минус, если m - четное. Представив (7) в виде, аналогичном (4), и положив выражения в скобках равными нулю, получим

А = А₁/2 + А_m /2 (m - нечетное), (8)

А=А₁/2 +А_m-1/2 – А_m (m - четное).

Амплитуды от двух соседних зон практически одинаковы. Поэтому (А_m-1/2) – А_m можно заменить через - А_m/2. В результате получится:

А = А₁/2 ± А_m/2, (9)

где знак «+» берется для нечетных значений m и минус - для четных.

Для малых m амплитуда А_m мало отличается от А₁. Следовательно, при нечетных m амплитуда в точке Р будет приблизительно равна а₁, при четных m – нулю, см. рис.3.

А какая будет освещенность в других точках экрана? Вследствие симметричного расположения отверстия относительно прямой SР освещенность в разных точках экрана будет зависеть только от расстояния х от точки Р. Если смещаться по экрану в точку Р¢ и далее, то дифракционная картина будет иметь вид чередующихся светлых и темных концентрических колец. Изменение освещенности экрана в зависимости от расстояния от точки Р показано на рис.3. Если отверстие открывает лишь часть центральной зоны Френеля, на экране получается размытое светлое пятно; чередования светлых и темных колец в этом случае не возникает, рис.Х.

Аналогичная картина на экране получается и в рассмотренном выше случае, когда между источником света и экраном помещается непрозрачный круглый диск. Дифракционная картина на экране будет иметь вид чередующихся светлых и темных концентрических колец. В центре картины наблюдается светлое пятно.

Подобным образом можно рассматривать дифракцию Френеля от прямолинейного края полуплоскости и дифракцию от бесконечной щели.

4. Дифракция Фраунгофера на одной щели. Пусть на бесконечно длинную щель (длина щели во много раз больше, чем ее ширина) шириной а падает нормально к щели плоская монохроматическая световая волна, рис.4.

Рис.4.

Поместим за щелью собирательную линзу, а в фокальной плоскости линзы - экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, интерференционная картина, наблюдаемая в плоскости любого сечения, перпендикулярного к щели, будет одинакова. Поэтому достаточно исследовать интерференционную картину в плоскости одного такого сечения.

Когда фронт волны дойдет до щели и займет положение MN, то все его точки являются новыми источниками волн, распространяющихся во все стороны вперед от щели. Рассмотрим волны, распространяющиеся от точек плоскости MN в направлении, составляющем некоторый угол j с первоначальным направлением распространения света. Эти волны, проходя через линзу, сойдутся в некоторой точке B на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы. Лучи, распространяющиеся от щели под различными углами, будут собираться в различных точках экрана и при наложении в результате интерференции дадут на экране дифракционную картину.

Опустим из точки M перпендикуляр MF на направление выделенного пучка лучей. Тогда от плоскости MF и далее до фокальной плоскости Е параллельные лучи не меняют своей разности хода. Разность хода, определяющая условия интерференции, возникает лишь на пути от исходного фронта MN до плоскости MF и различна для разных лучей.

Для расчета интерференции всех этих лучей применим метод зон Френеля. Для этого мысленно разделим линию NF на ряд отрезков длиной l/2. На расстоянии NF = аsinj уложится

Z = (аsinj)/(l/2) (10)

таких отрезков. Проводя из концов этих отрезков линии, параллельные MF, до встречи их с MN, разобьём фронт волны в щели на ряд полосок одинаковой ширины - зон Френеля. Число зон Френеля Z, укладывающихся на ширине щели, как следует из выражения (10), зависит от угла j. Волны, идущие от каждых двух соседних зон Френеля, приходят в точку B в противоположной фазе и гасят друг друга. Если число зон четное (Z = 2m, где m - целое число, неравное нулю), то каждая пара соседних зон взаимно погасит друг друга, так что при данном угле j на экране будет наблюдаться минимум освещенности. Углы j, соответствующие этим минимумам освещенности,находятся из условия:

а sinj_min = 2ml/2, m = 0, ±1, ±2, ±3,.... ( 11 )

В промежутках между минимумами на экране наблюдаются максимумы освещенности при углах j, определяемых из условия

а sinj_max = (2m + 1)l/2, m = 0, ±1, ±2, ±3,.... (12)

Для этих углов фронт MN разбивается на нечетное число зон Френеля Z = 2m +1 и одна из зон остается нескомпенсированной. Амплитуда колебания в этом случае будет составлять долю ~ 1/(2m+1), а интенсивность ~ 1/(2m+1)² от суммарной амплитуды, создаваемой всеми зонами фронта MN.

Для точки экрана O, лежащей против центра линзы, угол j = 0, а щель действует как одна зона Френеля и в этом направлении свет от щели распространяется в одной фазе и в точке О будет наблюдаться наибольшая интенсивность - центральный максимум. По обе стороны от него интенсивность будет спадать до первого минимума, а затем увеличиваться до следующего максимума, рис.4. На экране Е будут наблюдаться перемежающиеся светлые и темные полосы с постепенными переходами между ними. Центральная полоса будет наиболее яркой, а освещенность боковых максимумов будет убывать от центра к переферии.

Ширина и число этих полос будут зависеть от отношения а/ l. Из (10) следует, что sinj = Zl/2 а. Поскольку модуль sinj не может превышать единицу, то Zl/2 а ≤ 1, откуда

Z ≤ 2 a/ l. (13)

Если щель очень узкая, а« l, то вся поверхность MN является лишь небольшой частью одной зоны и колебания от всех её точек будут по любому направлению распространяться почти в одинаковой фазе. Условие минимума (11) не может быть выполнено даже для самого меньшего значения m = 1 и интенсивность света монотонно убывает от середины интерференционной картины к ее краям, асимптотически приближаясь к нулю. Сечение такой щели является практически точечным источником света, и волна от него будет распространяется практически одинаково во всех направлениях.

Если щель очень широкая, а»l, то уже первый минимум будет соответствовать очень малому отклонению от прямолинейного распространения света под углом

(j₁)_min = arcsinl a»l a <<1. (14)

Следующий минимум будет при угле (j₂)_min» 2l/ a и т.д. В результате прохождения через такую широкую щель плоской световой волны на экране наблюдается геометрическое изображение щели, окаймлённое по краям тонкими практически неразличимыми глазом перемеживающимися темными и светлыми полосками.

Чётко выраженные широкие дифракционные максимумы и минимумы будут наблюдаться лишь в промежуточном случае, когда ширина щели всего в несколько раз превышает длину волны и z_max имеет значение порядка 3-5.

Положение на экране дифракционных максимумов зависит от длины волны, поэтому при освещении щели белым светом центральный максимум будет наблюдаться в виде узкой белой полоски, так как при угле j = 0 оптическая разность пути одинакова для света всех длин волн. Боковые дифракционные максимумы для различных длин волн разойдутся, так как согласно (12), чем меньше l, тем под меньшими углами расположены дифракционные максимумы. Справа и слева от центрального максимума будут наблюдаться радужно окрашенные боковые максимумы интенсивности - дифракционные спектры первого, второго и т. д. порядка – цветные полосы с чередованием цветов от фиолетового к красному,обращенные фиолетовым краем к центру, рис.5. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.

Рис.5.

Дата добавления: 2014-01-03